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和高一学生谈谈递推数列通项公式的求法 湖北十堰东风高级中学 442001 吕辉 QQ:648257726 1-1．形如“” 例1：，，求． 解：． 点评：此种题型利用恒等式累加解决． 1-2.形如“” 例2： ， ，求． 解： 点评：此种题型利用恒等式累乘解决． 1-3. 形如“” 例2：，，求． 解：令得，，则为公比为的等比数列，， ． 点评：此种题型令，利用待定系数法求出，构造等比数列解决． 1-4. 形如“” 例3：(1)，求；(2) ，求． 解：解法1：（1）两边同时除以，得， 令，则，由 ，． （2）两边同时除以，得，令， 则，由， ． 解法2：（1）令，求得，为公比为的等比数列，，即． （2）令，求得，为公比为的等比数列，，即 ． 点评：此种题型有两种解法，（1）两边同时除以，转化为类型；（2）令求出，转化为等比数列． 1-5. 形如“” 例4： ，求 解：令得或，分别代入得或，分别构造等比数列得或，联立两式得． 点评：此种题型，令求出后分别代入原式构造等比数列，然后通过解方程组求得． 1-6. 形如“” 例6： ，求 解：易得，，即 为等比数列，即，． 点评：此种类型可以两边取对数得转变为前面的题型． 1-7. 形如“” 例7：(1) ,求； (2) ,求; 解：（1）由两边同时取倒数得，为等差数列 （2）令，得， ，令:，得 两边同时取倒数得，， ． 点评：此种题型 可以通过转化为，然后取倒数求解 1-8. 形如“含有（）或（）”连续项问题 例8：(1) 已知数列，且， 求； （2）设是首项为1的正项数列，且，求； （3）设是首项为1，且，求． 解：（1）解法1 （1）； （2） （2）—（1）得 ① 当时， ，时 （为奇数） ② 当，为奇数，（为偶数） 解法2 ， 令， 点评　此题出现了连续两项相加，其常规解法就是对进行奇偶性讨论，直观可行，但分奇偶后变为隔项问题，很容易出错．巧妙解法通过变形，使其成为我们常见的形式，此题也就迎刃而解，形如：的数列通项公式都可采用此法求解． （2）， ，为常数列 （3）两边同除以，为等差数列 ． 点评：两题都出现了连续两项相乘，2用的是因式分解的方法，3用的是 同除以的方法．两种方法都可以将其变成我们熟悉的形式，那么遇见出现，求其通项，运用此二法便可快速得出结果． 1-9. 形如“三角函数” 例9：（1）, 求； (2)已知数列满足，，则等于 解： （1），假设，则：， 令 由得： ，为等比数列　　， 由 （2）令： ， ， （） 　得 ， ． 点评：此种题型可以联想三角恒等式解决． 1-10.形如“二维数列” 例10： 已知，且对任意都有 ①；②则的值为 解: 　视为定值　由得：是公差为２的等差数列 （1）；由得　是公比为2的等比数列，（2）；由（1）（2）得 点评：不难看出对于二元数列的求法准则为，合理的“固定”（或）后转化为一元数列，再“松动” （或）．需要学生数列掌握常规数列通项公式的求法．