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用不动点构造新数列求通项 燕伟华 （2009年获佛山市优秀论文二等奖） 摘要： 1、列出数列的不动点方程，并解方程，求出方程的根（不动点）。 2、递推关系式两边减去所得的根（不动点），进而构造出可求通项的新数列（等比、等差类型）。 3、从新数列等比（差）数列的通项反解出。 关键词：不动点、构造新数列、求通项 参考文献：《数理天地》2005年第5期---分析数列竞赛12则 正文： 数列有着广泛的实际应用，是培养学生代数推理能力的良好素材，也是学生进一步学习高等数学的重要基础。因此一直以来，数列在高中数学中都占据着重要的位置，是历年高考重点考查的内容之一，而且数列往往和函数、不等式等知识相结合作为压轴题来考查。在各种数列题中，通过函数关系或递推公式来求数列的通项公式是一种常见的题型，由于知识的综合性强，对变形推理能力要求高，这让学生普遍感到头痛而无法觉得无从下手，更谈不上深入求解了。 如08年广州第二次模拟考数学（文科）第21题第2问：已知数列｛｝满足（），其中，求数列｛｝的通项。所给参考答案是用构造新数列的方法求出的。解法看起来简单，但要完成构造新数列，绝大多数学生都觉得无从下手，此题的递推关系是：且=1。它既不是等差数列，又不是等比数列，不可能直接求出它的通项，但若能将它转化成常见的等差或等比数列，那求｛｝的通项就迎刃而解了。 广州二模命题者给出的答案如下： 解：， +1= （+1）=2（） {（）}是首项为（）=，公比为2的等比数列，得，解得： 现在的问题是学生难以得到：+1=，从而难以构造出数列 {（）}。 又如2007年四川高考题第21题中，由第1问可得到，求。 原题已构造了一个新数列，降低了难度，如果自己构造，又如何操作呢？解这些题有无通法或一般的规律可循呢？经笔者研究，发现可以通过求不动点的方法来构造数列，从而解决相关的问题。为此，我们先来看看以下两种基本类型： 类型一：线性递推数列 如：例1、求。 该题可采用待定系数法构造新数列，在此不再赘述。 若考虑用不动点的方法，则解法如下： 解：令，得（不动点） 那么由可得，从而构造出新的等比数列{}，进而求出通项。 类型二：分式递推数列 如：例2、求。 解：的根为 那么 ① ② 由①÷②得： 易知，是一个首项为，公比为的等比数列，故：，由此解得 又如：例3、已知数列满足求。 解：由得 ∴ ∴ ∴是首项为，公差为的等差数列，故，解得： 由以上两种类型问题的处理方法我们可以归纳出解决这类问题的一般步骤： 1、列出数列的不动点方程，并解方程，求出方程的根（不动点）。 2、递推关系式两边减去所得的根（不动点），进而构造出可求通项的新数列（等比、等差类型）。 3、从新数列等比（差）数列的通项反解出。 把这种方法应用到广二模第21题中是否也适用呢？ 解：由得或 是首项为，公比为的等比数列，故有：，即： 可用同样方法来处理的类似的问题还有很多，如2007年四川考第20题的第3问：，求。 解：由得或 ① ② 由①÷②得：= 是首项为，公比为的等比数列，故有：，即： 又如2007年广东高考文科21题：已知函数，，是方程的两个根（），设，（1）求（2）记，求数列{}的前项和。 题目中没有提出求数列的通项公式，如果我们能从更高的角度看，问题解决起来容易些。 在解答过程中可以得到：=， 对应的不动点方程为，可转化为， 即第一问的解，就是不动点。 ① ② 由①÷②得：， ， 是首项为，公比为的等比数列， 类似的问题还出现在2005年江西高考题第21题中，已知，求。大家有兴趣的话不妨用以上方法试一试。 综上所述，若能灵活运用不动点构造新数列，可以起到化繁为简、化难为易、化生为熟的奇妙作用。 1