已知椭圆M的两个焦点分别是，是椭圆上的点，，，求椭圆的标准方程.docVIP

高中数学流行错题几例 奉贤区教师进修学院 张海君 201499 数学题由于多变量因素的控制，所以命制题目时一不小心就会导致自相矛盾，造成错题，而错误的原因不容易被发现。 一、提出问题 某外省市二模调研测试题： 已知椭圆M的两个焦点分别是，是椭圆上的点，，，求椭圆的标准方程 分析：由P是椭圆上的一点知 ， 解出椭圆的标准方程为 仔细推敲才发现，此题的题目和解答均有错误，是一道名副其实的错题，但在时下各流行上流行甚广。 二、错误分析 题目题设自相矛盾的真正的原因，解答过程也不完整。 以上看似完美的解题过程,天衣无缝,但事实上:设点，， 联立方程组，无解由此可得题目中的P并不存在,所以此题为错题. 此题若因为是一道错题，而将其删除，甚为可 惜．其实，只要在此题的基础上稍加修改，就可变为一道很好的教学素材．那么如何修改题中的已知条件能使此题所求的方程是点P存在的充要条件呢? 三、试题改编与拓展 已知椭圆M的两个焦点分别是，问椭圆上是否存在这样的点P,满足，，若存在,求出椭圆的标准方程,若不存在,说明理由. 解 ：假设椭圆上存在这样的点P，满足 ， 解出分析：由P是椭圆上的一点知 ， 解出椭圆的标准方程为 设点，， 联立方程组，解得 ，， 由此可知,只要时，那么椭圆上一定存在满足题中条件的点P. 进一步拓展： 已知椭圆M的两个焦点分别是，问椭圆上是否存在这样的点P,满足，，若存在,求出椭圆的标准方程,若不存在,说明理由. 解答：由余弦定理和椭圆的定义得 ，， 由此可知,只要时，那么椭圆上一定存在满足题中条件的点P. 四、试题链接 1、已知椭圆M的两个焦点分别是，问椭圆上是否存在这样的点P,满足，的面积为，若存在,求出椭圆的标准方程,若不存在,说明理由. 结论为:当时,存在这样的点P.此时椭圆的标准方程为 2、已知双曲线N的两个焦点分别是分别是，问双曲线上是否存在这样的点,满足，若存在,求出双曲线的标准方程,若不存在,说明理由. 结论为:当时,存在这样的点P.此时双曲线的标准方程为 五、其它错题摘录 1、在R上定义的函数是奇函数，且，若在区间上是减函数，则函数( ) A、在区间上是增函数，在区间上是增函数 B、在区间上是增函数，在区间上是减函数 C、在区间上是减函数，在区间上是增函数 D、在区间上是减函数，在区间上是减函数 分析： 例3、 2、设等比数列n的前n项和为，前n项之积为，数列的前n项和为.求证：（1）；（2） 此题错误的原因：当等比数列的公比是偶数时，数列的前n项和为为0，显然不能作为分母。命题者只注意对公比和进行了讨论，忽略了公比是偶数时的情形，这个错误很普遍。类似还有一个很流行的错题：等比数列顺次K项之和仍为等比数列也是犯了同样的错误，也忽略了公比是偶数时的情形和为0，不能作为等比数列中的项。此题应将第（1）问改成 证明：设数列的公比为q，，所以也成等比数列，公比为，首项为. （1）若，则，，，即； 若，则， ，得. 若， 若n为偶数，则，，； 若n为奇数，，，，即. （2）若，，由（1），得； 若，， 由（1） . 若， 若n为偶数，则，，成立； 若n为奇数，，，，成立。 4、 5、 4、