原点未知の3母数対数正規分布につい.pdfVIP

統計数理（1994） 第42巻第2号297－313 原点未知の3母数対数正規分布について 統計数理研究所金藤浩司 広島大学‡岩瀬男盛 （1993年12月 受付） 1．はじめに 本稿は，計量生物学での生存時間や信頼性工学での故障時間の解析に於て用いられる分布の 1つである対数正規分布の3母数化について述べている．ここで定義する3母数対数正規分布 を拡張し，1つの無名数の母数を導入し，これまでの定義とは異なる原点（分布の立上り点）の 導入を行っている．通常，2母数対数正規分布は，原点が零で歪度が正の値を取る分布である． この分布についての研究はCrow and Shimizu（1988）によって詳しくまとめられている． 対数正規分布の3母数化を無名数の母数を導入することで実現し，この分布を用いて単位を 持つ事象を解析した．この無名数の母数は，単位の異なるデータ間に於て比較できる．本稿で 定義する3母数対数正規分布では，単位を持つものに対して対数変換および指数変換を行って いない．また，歪度が負の値を取る標本分布に対しても適用できる． た． 2．対数正規分布 2．1対数正規分布の従来の定義 対数正規分布は歴史的には次の様に定義されてきた．確率変数Xに対して，それを対数変換 したものが平均β，分散γ2の正規分布に従うならば，確率変数Xは2母数対数正規分布に従 う． 1og X～jV（β，γ2）， O＜X＜∞． また，確率変数X一αが2母数対数正規分布に従うならば，3母数対数正規分布は， （2．1a） 1og（X一α）～jV（β，γ2）， α＜X＜∞ と定義されてきた．同様に，確率変数α一Xが2母数対数正規分布に従うならば， （2．1b） 1og（α＿X）～M（β，γ2）， ＿∞＜X＜α となる3母数対数正規分布も定義できる．ここで，αは原点（分布の立上り点）を表す母数であ る．また，ガンマ分布およびワイブル分布に於てもこの様な3母数化が行われている． 統計解析に於て解析者は，特定の医学的処置に対する生存時間や工業製品の故障時間といっ ＊工学部応用数学教室：〒724広島県東広島市鏡山1－4－1． 298 統計数理 第42巻 第2号 1994 た単位（例えば，時間や回数など）を持つ事象に対して，本研究で対象とする様な分布を用いて 解析を始める場合がある．従来の対数正規分布では，αの単位はXの単位と等しいことを （2．ユa）は表している．同様に，（2．1a）から1ogXの単位はβの単位に等しく，平均と標準偏差 の単位は等しいことより，1og（X一α）の単位はγの単位に等しい．一方，（2．1a）は，1og（（X 一α）／exp（β））～M（0，γ2）と書き直せる．これにより，exp（β）の単位はXの単位に等しく，かつ 1og（（X一α）／exp（β））は単位を持たない（無名数）ことを意味する．故に，γは1og（（X一 α）／exp（β））の標準偏差なので，γは単位を持たないことになる．従って従来の定義では，γは 単位を持っ結論が得られ，かつγは単位を持たない結論が得られる． 2．2対数正規分布の新しい定義 2．1節の解釈によって生じる矛盾を避け，母数の役割が容易に分かるような表現を採用するべ 数対数正規分布を， ÷1・・（チ）一肌・）， 0＜X＜∞ と定義した．ここで，O＜μ＜∞，O＜o＜∞であり，母数μは確率変数Xの母中央値である．確 率変数Xが，この2母数対数正規分布に従うことを，彼等はX～LM（μ，o2）と表記した． べる定理を導いた．原点が未知の対数正規分布に従う確率変数Xを， （2．2） ÷1・・（・・／X…μ）一州・）， …（／）・！X一（μ一号）1・・ と定義する．1ogは自然対数とする．ここで，一∞＜μ＜∞，0＜σ＜∞，0＜1λ1，であり，sgn（λ） はλの符号を表す．また，（2．2）式で定義さ