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第六章 多元微积分 6.1 二元函数的极限与连续 二、 二元函数的极限 一、 空间直角坐标系 三、 多元函数的连续性 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 一、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) Ⅰ zOx面 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 间的距离公式: 对两点 与 定义1（邻域） 设 是平面 上的一个点, ,与点 距离小于 的点 的全体称为点 的 邻域， 即 记为 , 定义2（区域与闭区域） 内任意两点， 连接起来, 连通的开集称为 都可以用 内的折线(其上的点都属于 ) 如果对于 则称开集 是连通的． 设 为开集， 区域或开区域． 开区域与其边界的并集称为闭区域． D 。 。 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? 定义3（有界闭区域的直径 ） 设 是 中的区域， 是一点， 如果存在正数 , 使得对 中任意点 都有 ，则称 是有界区域. 设 是有界闭区域,称 为 的直径. 例如， 平面上的圆的直径就是我们通常所称的直径， 而矩形的直径则是其对角线的长度. 一般来说,在空间直角坐标系中,由二元函数 所确定的点 构成一张曲面. 例如, 二元函数 定义域为 圆域 图形为中心在原点的上半球面. 二、二元函数的极限 定义4（二元函数的极限 ） 设函数 在开(或闭) 区域 有定义， A为常数， 是 的内点或边界点. 如果对任意给定的 , 都存在 , 当 且 时， 有 则称当 时， 的极限是 ， 记为 我们可以仿照一元函数极限的方法类似地处理二元或 多元函数的极限. 显然有 如果 , 为常数， 则 其中 . 例1 证明 证明： 令 由 有 解: 原式 例2 求 三、多元函数的连续性 定义5（二元函数的连续 ） 设函数 在 有定义, 如果 , 则称 在点 连续. 与一元函数类似，关于函数四则运算与复合函数连续 性的讨论也基本相同， 有如下结论： 二元初等函数在其定义区域内连续. 例2 求 解: 将 代入上式， 得 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续，则 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: * *