數學類「無理」取鬧-----有關無理數逼近的探討王暐翔。麗山高中。高三.pdfVIP

「無理」取鬧 數學類 「無理」取鬧有關無理數逼近的探討 王暐翔。麗山高中。高三六班 林冠廷。麗山高中。高三六班 指導老師:柯明樹老師 1 「無理」取鬧 壹、 前言 一、研究動機 我們在專題研究課上閱讀老師推薦給我們的「從 2談起」(張景中著) ，這本 √ 書是在敘述一些關於無理數的由來和證明以及生活上的應用，此時我們想到 除了以外 2我們也學過其他無理數，像是π 、log …等等，不過我們對無理數 √ 卻感覺既陌生又熟悉，雖然我們常常在使用他，但是卻對他的估計值和由來 十分陌生，我們也很好奇如何將根號的值算的更精確更快速。 二、研究目的 (一) 找出逼近無理數的不同方法。 (二) 比較不同逼近方法的優缺點。 三、研究工具 電腦、紙、筆 。 貳、 正文 一、基本的無理數根號 (一) 無理數的由來 畢達哥拉斯（Pythagqras,約公元前885 年至公元前400 年間）是古希臘的大 數學家。他證明出不少大定理，其中，畢氏定理(勾股定理)是最為耳熟能詳 的定理，即直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等於以斜邊為邊 長的正方形的面積。在那時候畢達哥拉斯認為，這世上都能用「數」來表示， 也就是 「凡物皆數」的觀點，在他們心目中，數就只有正整數，而正整數就 像一切的根本。公元前500 年，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras ）學派的弟子 希伯索斯（Hippasus ）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一 邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1 ，則對角線的長不是一個有理 數） ，換句話說就是發現了2的存在，但是這個發現卻和畢達哥拉斯學派 √ 的「凡物皆數」的理論相牴觸，這使得畢式學派的人們十分惱怒和惶恐。這 個發現如果在當時發表出來就像是在學界投下了一顆震撼彈，畢式學派的人 們認為這將動搖他們在學術界的統治地位，於是極力封鎖該真理的流傳，希 伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒，於是希 2 「無理」取鬧 伯索斯被殘忍地扔進了大海。雖然希伯索斯沒能夠將這研究發表出來，但是 真理不會永遠被埋沒，隨著數學的發展，無理數在人們心中取得了合法的地 位。希伯索斯是第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續 的無限直線等同看待，有理數並沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能 用有理數表示的「孔隙」，而無理數也被後人給證明出來它為無窮多個。用 “ ”來表示平方根，是在十六世紀時由解析幾何的創辦人笛卡兒(Descartes ， √ 1596~1650) ，首先採取的。 (二) 利用直式開方法估計 近似值 √ 設 = + 1 + 2 + 3 ⋯ + ，且 ， ， ，…為介於0 到9 的正整 √ 0 101 102 103 10 1 2 3 數，我們將 n寫成小數 . …。設數列x = + 1 + 2 + 3 ⋯ + √ 0 1 2 3 k 0 101 102 103 ，y = k+1 + k+2 + k+3 +… ，n=x + y 。我們可以用數列x 來逼 10 k 10k+1 10k+2 10k+3 √ k