中南大学微积分3课件 5.2对坐标的曲线积分.pptVIP

曲线积分与曲面积分 三、对坐标的曲线积分的计算 (化为定积分计算） 5.2对坐标的曲线积分 （Ⅱ型曲线积分） 教学目的与要求： 1．理解Ⅱ型（对坐标的）曲线积分的概念和性质； 2．了解两类曲线积分的关系； 3．掌握计算Ⅱ型曲线积分的方法； 4．了解Ⅱ型曲线积分的应用。 知识点：Ⅱ型曲线积分的概念、性质、计算及应用；两类曲线积分的关系。 重点：Ⅱ型曲线积分的计算 难点：Ⅱ型曲线积分的概念 教学方式：对比启发式教学，多媒体辅助 教学思路：给出实例，分析得到与Ⅰ型曲线积分相类似又有区别的结果，从而引入概念，接着介绍其计算方法，从计算法可以看出两类曲线积分是有联系的，最后指出两类曲线积分的关系。 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 1) “大化小”. 2) “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 3) “近似和” 4) “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的 最大长度) 2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 特别地,当L为封闭的有向曲线时,将上式写成: 若 ?为空间曲线弧 , 记 类似地, 3. 积分存在条件： 4.性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 1．直接计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 证明: 下面先证 存在, 且有 对应参数 设分点 根据定义 由于 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 特殊情形 化为对x或y的定积分 计算过程概括为“一代二换三定向（限）”。 （3）对空间光滑曲线弧 ?: 类似有 例1 解 例2 解 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.（即该Ⅱ型曲线积分与路径有关） 例3 解 P223(例5.9） 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. （即该Ⅱ型曲线积分与路径无关） 例4. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 小结：以上计算对坐标的曲线积分的方法称为直接法，具体步骤为: 1. 画出L的图形，指明该有向曲线的方向，写出L的方程，参数变量的变化（起点、终点） 2. 将L的方程代入被积表达式中，简化被积表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy 3. 将对坐标的曲线积分化为定积分。 注意：定积分的下限为积分变量的起点 定积分的上限为积分变量的终点。 积分变量 四 两类曲线积分之间的联系： * *