中南大学机械振动全套课件2.单自由度振动系统1.pptVIP

例二 系统如图，杆和弹簧的质量不计，在静平衡时水平，求其系统的微分方程和固有频率 （提示：取静平衡位置为坐标原点，可不考虑重力势能，当偏角很小时，弹簧的伸长，圆球的位移和速度可以表示为： ） 能量法的优点 从上面的分析可以看出，用机械能守恒求解比较方便，而且比较规范，对照大家以前的学过的Lagrange方程，大家可以看出，实际就是无约束系统Lagrange方程在保守力场下的形式。 等值质量 在前面的讨论中，都假定了弹性元件的质量远远小于振动系统的集中质量，因而可以简化为一个集中质量。上文所讨论的例子的弹簧也都是有一个螺旋或扭转弹簧的例子。下面看几个稍微复杂的例子，并说明等值质量的意义。 例三 如右图，弹簧在静平衡位置长度为 ，单位长度的质量为 ，求系统的固有频率。 基本假设 假设系统的变形是线性的，即当弹簧下段的位移为 的时候，在距离弹簧上端 的截面振幅为 ，假定系统的速度分布也满足线性要求（在端点处显然成立） 设质量块的位移为 ，速度为 ， 弹簧的动能 则在距离上端点距离为 ，长度为 的长度微元的动能为： 则整个弹簧的动能： 总动能 质量块的动能： 总动能： 系统微分方程 系统的势能： 由： 微分方程： 固有频率： 等值质量 称为本系统弹性元件的等值质量 例四 如图所示，悬臂梁的线密度为 ，端点处有集中质量 ，求系统的固有频率 杆刚度的确定 由材料力学可知，在静载荷 作用下，悬臂梁的挠度为： 假设 截面处的挠度为 ， 假定在自由振动中，各点的位移和速度仍然按照此比例。 系统的动能 梁的动能： 质量块的动能： 系统总动能： 系统的方程 系统的势能： 根据： 系统微分方程： 固有频率： 结论 可见，悬臂梁的质量对振动系统的固有频 率的影响相当于在自由端加上梁的等值质 量 ，此值稍小于全梁质量的 思考：梁自重造成梁端部的位移，会不会影响本题的精度。 等值刚度 弹簧的并联 若使刚度为 ， 的两根弹簧的下端都伸长 ，所需要的力 所以，并联弹簧的等值刚度为 推论 个弹簧并联后的等值刚度 ，可用数学归纳法证明。 弹簧的串联 如图所示，两个弹簧串联，在端点处作用力 ，两个弹簧分别 伸长 和 ， 则下端点的位移： 串联弹簧的等值刚度 推论，对于 个串联弹簧的等值刚度 思考题 判断下面的弹簧的串并联情况 §2.3 阻尼自由振动 (2.22) (2.21) （常系数-线性） 解的形式 特征方程 (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) (2.27) (2.28) 特征方程简化 特征方程的解 参数变换后的特征方程的解 参数的变换 意义：临界阻尼、阻尼比 参数变换后的 微分方程式 ζ1，即(c/2m)2k/m，s是实数，此时为强阻尼(又称为过阻尼)情况。特征方程的根为 (2.30) (2.31) ξ＝1，即(c/2m)2＝k/m此时为`临界阻尼情况。特征方程的根为： (2.33) (2.34) ξ2 1，即(c／2m)2k/m，s是复数，此时为弱阻尼情况，特征方程的根为 (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) 只有当弱阻尼时，系统的运动才是振动，称为衰减振动。从式(2.45)可以看出，随着时间增长，即t趋于无穷时，振动逐渐衰减为零，系统趋于静止。这是阻尼自由振动与无阻尼自由振动的主要区别之一。由于式(2.36)中有衰减项，因而此时的振动既不是简谐振动，也不是周期振动。但通常仍习惯地称为阻尼固有频率，称为振幅。认为在阻尼自由振动时，振动的振幅随时间增长按指数规律衰减。 (2.36) (2.40) 在ζ很小时， 即 ζ＝0.01时， x2＝0.94x1， x50=0.043x1 ζ＝0.05时， x2＝0.73x1， x10=0.043x1 阻尼比较大的系统其自由振动衰减的较快。如果两个系统的阻尼比相同，则具有较高固有频率的系统其自由振动衰减较快。这也就是常说的“高频成分衰减快” 求阻尼比的方法： 当ζ1时，近似公式 用示波器检测系统的波形、振幅，可以求出δ——ζ 单自由度振动系统 单自由度系统自由振动 单自由度系统阻尼振动 单自由度系统强迫振动 单自由度定义 只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统。 自由度：指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少