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泛函分析教学大纲 泛函分析课程说明 课程代码 课程英文名称:Functional Analysis 开课对象: 数学与应用数学专业本科生 课程性质: 泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。 前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》 教学目的 通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础 教学内容 本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。 学时、学分数及学时数具体分配 教学时数：72学时 学分数： 4 学分 教学时数具体分配 教 学 内 容 讲授 实验/实践 合计 第一章 度量空间和赋范线性空间 12 12 第二章 有界线性算子和连续线性泛函 16 16 第三章 内积空间和Hilbert空间 20 20 第四章 Banach空间中的基本定理 16 16 第五章 线性算子的谱 8 8 合计 72 72 教学方式 以教师讲解为主的课堂教学方式 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。平时成绩占30％，期末成绩占70％。 二、讲授大纲与各章的基本要求 第一章 度量空间和赋范线性空间 教学要点: 1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射 2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X 3 有理点集是可数稠密集 4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间 教学时数:12学时 教学内容 度量空间 度量空间的极限,稠密集,可分空间 连续影射 柯西点列和完备度量空间 度量空间的完备化 压缩映射原理及其应用 线性空间 赋范线性空间和Banach空间 考核要求： 度量空间 （识记） 度量空间的极限,稠密集,可分空间 （领会与应用） 连续影射 （领会与应用） 柯西点列和完备度量空间（领会与应用） 度量空间的完备化 （领会） 压缩映射原理及其应用（领会与应用） 线性空间 （领会与应用） 赋范线性空间和Banach空间 （领会与应用） 第二章 有界线性算子和连续线性泛函 教学要点: 1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的 概念 2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间 3 掌握线性同构的概念 教学时数：16学时 教学内容 有界线性算子和连续线性泛函 有界线性算子空间和共轭空间 广义函数 考核要求： 有界线性算子和连续线性泛函 （识记、领会、应用） 有界线性算子空间和共轭空间 （识记、领会、应用） 广义函数 （领会） 第三章 内积空间和Hilbert空间 教学要点: 1 掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系 2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系 3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系 教学时数：20学时 教学内容： 内积空间的基本概念 投影定理 Hilbert空间中的规范正交系 Hilbert空间上的连续线性泛函 自伴算子,酉算子和正常算子 考核要求： 内积空间的基本概念 （识记，领会，应用） 投影定理 （领会，应用） Hilbert空间中的规范正交系 （领会，应用） Hilbert空间上的连续线性泛函 （领会，应用） 自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用） 第四章Banach空间中的基本定理 教学要点: 1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理 2 掌握弱收敛和强收敛的概念 3 理解Baie纲定理 教学时数：16学时 教学内容 泛函延拓定理 C[a,b]的共轭空间 共轭算子 纲定理和一致有界定理 强收敛,弱收敛和一致收敛 逆算子定理 闭图象定理 考核要求： 泛函延拓定理 （领会，应用） C[a,b]的共轭空间 （领会，应用） 共轭算子 （识记，领会，应用） 纲定理和一致有界定理（领会，应用） 强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用） 逆算子定理（领会，应用） 闭图象定理（领会，应用） 第五章 线性算子的谱 教学要点: 1 理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性