有限幂零半群的构造.pdfVIP

·1 ． -(1909j No．3 数 学 杂 志 J．of M afh． (PRC) 有限幂零半群的构造 来聘瑜 (青海师范大学 ) 有零元的半群 S称为幂零的，如果对于任意 ∈S有正整数 使 =0，设 s是有 限幂 零半群，则存在正整数 ”使得 S ={0}([1]，P．81)，适合此条件 的最小正整数称为 s的 口一阶，记为0(S)jS的非零元 的 。一阶 (记为 O())是指适合下述条件 的最小正整数 ”： 的任意 个包括 在内的元素的积为零j零元 的O一阶规定为 1． 以下假设S是 “阶有限 幂零半群． 引理 1 设 ， 是 S的非零元，则 O( )minto()，口()}． 证 设 0(z) ，则包含 在内的任意 一1个元素 的积必为 0， 故 0( )O()． 设 I．：{ ∈S{0()≤f}(1≤f≤”)，则 ‘是 的理想，显然 I】：{0}I ：S．夸 ， = ，：，，=‘I一‘， ={∈Sj0()； }． (称 ，·，，·为 的阶理想，阶子集 )． 引理 2 设 A=S—S，则 是 S的最小 生成集 (I I称为S的秩 )． 证 由引理 l可知 ，cA． 假设 对于 f”有 ，C ( )(V f)． 若 ∈， 一‘A，则 = ， 由引理 l可知 。∈( )，故-F∈(A)，因此 ，·C ( )．故 S=(A)．生成集 的最 小性是显然的． 将嵌入 映射 一S扩充为 满同态 ： S．令 L|=，t。，L=L U…UL (= +一 L1)，则 L={∈A 10 ≠0}． 由于S ={o}，故LcAU…U I．因此L是有 限集．设 L 的最长字的长度 J(L)= ，则有 ≤一1． 为封于任意 ∈A’(1≤f≤ +1)必有 … +链 L，故 (，)… ( +．)=0．因此 +l≥”．故得 “ )=”一1．称 L为 S的构造集，L ‘称为 的构造分量． l理 3 0(却 )：max{l“I+II+2I u∈L， ， ∈A’}(I“I表示 “的长度) 证 0( )=maxtmI(zj)一·一(0 )一--(m—l)≠0，l∈A }=max{i11I … ·-一 一】∈L}， 为 了求最大值，可设所有 。．∈A (除去 )，故 O(． )=max{I“I+IJ+2I“肌一∈L， “， ∈ A }． 推论 4 设 ∈A ， =uxv(“， ∈A )，则 0( )≥0(卵 )+IMI+IuI． 证 设 埘 埘 ∈L使得 0( )=I埘I+i珊 l+2．因为 珊 ∈L， 则 0(善 )≥l珊“I+ l口甜 J+2=0( )+i“I+Ii． ’ l987年 4月21日收剜。 27O t 拳 囊 l‘ Vo1． 由引理 3可知有限幂零半群 S的构造分量 L1由构造集L唯一 决定．下面从男一角度来 确定 LI，设 ， ∈A ，如果 = “r口(“，口∈A )，则记为 ≤5 设 是 的有限子集， 将偏序集 (T，≤。)的 极大 元子集 记为 D (T)，对于 S的构 造集 L， 令 L ’=L， L “= L 一D (Lf卜 ’)(f≥ 1)． 引理 5 Lf=D (Lf )(2≤f≤n) 证 由定义 D(工 ‘卜 )=L(。 一L( ． 因此只要 证明等式 Lf’‘二{∈ IO( )i+ 1}即可，当 =0此式显然成立 ， 设 L “_’’={。∈A lO( )f}(i0)． 若 ∈L “。． 则有 车 ∈L( “，故0( )≥O( )+1I—I．ll+1．反之，若 O( )f+l，则 O( )i， 因而 EL“1)．设 “ EL使 0( )=I“I+lI+2．由于O( )f+1≥2，故 I“I≠0或 II