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有限元接触算法综述 摘要：接触问题是一种高度的非线性问题，普遍存在于实际工程实践中。本文对 于接触问题的研究现状、求解特点以及接触模式等问题进行说明，并对接触问题 的有限元算法进行概括，重点分析了直接迭代法（包括位移法和柔度法）、 Lagrange 乘子法、罚函数法和变分不等式法，对接触问题的有限元理论和实验研 究提供一些建设性的参考意见。 关键字：接触问题，有限元，算法 接触现象广泛存在于机械工程、土木工程等领域，如齿轮的齿间啮合，汽（气） 轮机及发动机中叶片与轮盘的榫接，两物体的撞击（动态接触）等。实际的工程 结构系统往往分成几个非永久性连在一起的部分，这些部分之间的力是靠它们之 间的挤压、甚至冲击来传递。 简单的弹性接触问题在 19 世纪末Hertz 就已经开始研究，但只有在有限元 方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有了长足发展，并达到实用化程度。 接触问题的特点是其属边界非线性问题，边界条件不再是定解条件，而是待求结 果；两接触体间接触面积与压力随着外载的变化而变化，并与接触体的刚性有关。 接触模式问题一般指描述两接触体间的力的传递和不同载荷下接触状态的 变化，可以分为点对点（node-to-node ）接触模式和点对面（node-to-surface ）接 触模式。其中，前者将两接触体的接触面分成同样的网格，使结点组成一一对应 的结点对，假定接触力的传递通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态 也相应地按结点对来判断，其优点是直观、简单、易于编程，缺点是对于复杂接 触面情形，网格结点一一对应不易做到；后者先将两接触体人为地分为主动体 （master body ）与被动体（slave body），并假定主动体网格中的一个结点可与被 动体表面上的任意一点（不一定是网格结点）相接触，其优点是两接触体可根据 自身情况剖分网格，缺点是方法较复杂、编程难度大。 自二十世纪七十年代开始至今，有关的研究工作和成果一直不断，提出了多 种求解方法或技巧。总的看来，接触问题的有限元解法可分为两大类，一类以我 们常用的有限元法(即能量泛函经变分后得到的方程组)为基础，另一类是数学规 划法，它将这类问题视作能量泛函的极值问题而通过数学规划方法求解。接触边 界上的受力变形条件则通过迭代、引入用罚函数、Lagrange 乘子法等技巧来满足。 本文介绍接触问题的有关有限元算法，并详细介绍其基本原理和优缺点。 1. 直接迭代法 这是最早应用的方法之一。该法以普通有限元法的计算公式为基础，通过接 触面上的结点在不同接触状态下应满足的位移及力的条件，将各接触体联系起 来，最终建立整体(即包括所有接触体) 的求解方程。计算时，因加载变形后的状 态无法预知，故常需预先假设一种接触状态，它与加载后的状态通常并不相符， 因此计算是一个迭代过程。 另一方面，同一般的结构分析计算一样，求解时可以位移为待求量，相应的 方法称为“位移法”(或“刚度法”) ，也可以力为待求量，称为“柔度法”或待 求量中既包括位移又包括力，则为“混合法”。 （1）位移法 [1] 本方法是Wilson 及Parsons 于 1970 年 提出来，所解决的是两个接触体光 滑接触的问题，虽然简单，但用以说明这类方法的原理却很方便。这类方法实际 是以经典问题的有限元求解公式为基础。假设两物体为 和 ，其各自的有限   元求解方程可写为： U F         U F     [K ] c c (1)     U