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有趣的投信问题及其解法
EduMath 16 (6/2003) 有趣的投信問題及其解法 文耀光、潘建強 香港教育學院數學系 投信問題 如果將 8 封不同的信件隨機投入 4 個不相同的郵筒，而每個郵筒都至 少要投入一封，究竟有多少種不同的投法呢？這個問題看似簡單，但一不 小心，好容易會得出錯誤的答案。如果不相信的話，可隨便找幾個唸過高 中的朋友試試看！（註：答案是 40824 。） 本文嘗試給出兩個不同的解法，現分述如下： 解法一 先列舉各種不同的投信組合，並計算其排列數目，然後找出它們 的總和。為了方便說明，我們會以符號 ( n , n , n , n ) 來表示在不同的郵 1 2 3 4 筒中分別投入了n 、n 、n 和n 封信的組合，且不妨假設n ≤n ≤n ≤n 。由 1 2 3 4 1 2 3 4 8! 8 8−n −n8−n n C C × C × C × 1 1 2 4 ） 於郵筒內的信件排列方式有 n1 n2 n3 n4 （= n !n !n !n ! 1 2 3 4 種，所以再乘以選擇郵筒的方式數，便可得出每種不同投信組合之總排列 數目。以下是不同的投信組合之詳細計算步驟： 8 7 6 5 4! C C C C × × × × 組合是 (1 , 1 , 1 , 5) 之排列數目： 1 1 1 5 3! 8! = ×4 = 1344 5! 8 7 6 4 4! C C C C × × × × 組合是 (1 , 1 , 2 , 4) 之排列數目： 1 1 2 4 2! 8! = ×12 = 10080
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