高考数学复习点拨 证明中的转化策略.docVIP

证明中的转化策略 垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言这间的关系，从而将问题解决． 线与面垂直关系变化 线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推 出后面用的是判定定理，而从后面推出前面用的是性质定理，应当灵活应用这些定理证明和求解问题． 已知：平面于，平面，． 求证：平面平面． 证明：如图1所示， ， （直线与平面垂直性质）． 又， 平面（直线与平面垂直判定定理）． 又平面， 平面平面（平面与平面垂直性质定理）． 如图2，为正三角形，平面， ，且，是的中点，求证：（1）；（2）平面平面；（3）平面平面． 　　分析：（1）要证明，只须证明；（2）注意为的中点，可取的中点，先证明点在平面内，再证明平面经过平面的一条垂线即可；（3）仍需证明平面经过平面的一条垂线． 　　证明：（1）如图2，取的中点，连结，易知， 　　，． 　　在和中， 　　，， 　　，故． 　　（2）取的中点，连结，则， 　　，即点在平面内． 　　平面，． 　　又，平面． 　　在平面内． 　　平面平面． （3），平面， 平面 　　　又平面， 　　　平面平面． 说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明平面是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直的转化途径进行． 创设辅助线与面 如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要根据题意灵活作出有理有据的辅 助线或辅助面，适当添加辅助线或辅助面是促进转化的重要环节． 正方体中，分别是对角线上的点，且 ，求证：平面． 　　分析：在图3中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？这种情况下我们往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件． 　　证明：（1）由“面面平行线面平行”． 　　如图4，在平面内，作，交于点，连结， 　　则易知，而已知， 　　，则， 　　平面平面． 　　而平面， 　　平面． 　　（2）添加辅助线，“由线线平行线面平行”． 　　如图5，连结并延长交于点，连结， 　　则可证， 　　． 　　又已知，，则易得， 　　而平面， 　　平面． 　　说明：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断． 用心 爱心 专心