高考数学复习点拨 统一定义初显神威.docVIP

“统一定义”初显神威 一、“统一定义”破解曲线形状 例1、方程的曲线是 （ ） A、椭圆 B、双曲线 C、线段 D、抛物线 分析：一般情况下，判别点的轨迹是通过化简方程来实现，但针对此题此法处理不仅麻烦，且由于其曲线的对称轴与坐标轴不平行，化简了方程的形式仍很难识别，若能用圆锥曲线“统一定义”去分析，不难破解。 解：原方程可化为。即点到定点的距离与到定直线的距离的比值为＜1，∴点P的轨迹是椭圆。故应选A。 激活思维：本题将转化为 其左端的几何意义可以理解为动点到定点和定直线的距离之比，其比值为，根据椭圆的第二定义可知所求的曲线是椭圆。因此本题变形是十分关键的，它要求对椭圆定义有较为深刻的理解才能做到。同时说明在第二定义中的定直线并一定是垂直于坐标轴的（如本题）。 二、“统一定义”活解曲线方程。 例2、在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线的距离小1的动点的轨迹方程。 分析：此例若根据题设条件按部就班地列出关系式，再进行化简，整理也可得到轨迹方程，但这样做比较麻烦，其实，这里只要先将命题作一等价转换，然后再利用“统一定义”求解，十分简便。 解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，为准线的一条抛物线，其方程为。 例3、已知椭圆的短轴长为4，离心率为，该椭圆有一个焦点在函数的图象上，且与这焦点相应的准线为x轴，求这个椭圆的方程。 分析：显然椭圆的对称中心不在坐标原点，由题设知可利用圆锥曲线统一定义，列出关系式，经过化简整理，求得轨迹方程 解：由已知，得解得，焦点到相应准线的距离为 ，由于准线是x轴，焦点坐标为，又焦点在的图象上，得焦点为（4，2）或。根椐圆锥曲线定义，设为椭圆上一点，则所求椭圆方程为：或。整理后得 或所求的椭圆方程为 或 三、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值 例4、已知点A（3，0）、F（2，0），在双曲线上求一点P，使 的值最小。 分析：题设中|PF|是双曲线的焦半径，又是双曲线的离心率的倒数，由圆锥曲线“统一性定义”可知：就是双曲线上P点到相应准线的距离，再观察图象，便可解决问题。 解：。设点P到与焦点F（2，0）相应的准线的距离为d，则。∴。，这问题就转化为在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小。即直线PA垂直于准线时合题意，∴ P（1，0）。 四、“统一定义” 鉴别直线与圆锥曲线的位置关系 例5、在抛物线中（如图）A为抛物线上异于顶点的任一点，问以|PA|为直径的圆与y轴的位置关系如何。 分析：判断直线与圆的位置关系可考虑圆心到直线的距离。 解：如图，设过A点且平行于x轴的直线交y轴于B点，交直线L于C点，由统一定义可知|AC|=|AF|，设x轴与准线L交于D，则|OF|=|OD|=|BC|，取AF的中点M，过点M且平行于x轴的直线交于y轴于N，则 。所以|FA|为直径的圆与 y轴相切。 五、“统一定义”妙求离心率 例6、一直线过圆锥曲线的焦点F，且倾斜角为600，它与圆锥曲线交于A、B两点，若|FA|=2|FB|，求该圆锥曲线的离心率。 分析：因AB是焦点弦，故其焦半径可以转化为点A、B到准线的距离，利用平面几何图形性质，结合统一定义可得以解决。 解：设|FB|=x，则|FA|=2 x，|AB|=3 x，过A、B两点且平行于x轴的直线分别交其相应的准线于M、N两点，则，（为圆锥曲线的离心率），过B点作BK⊥AM，K为垂足，由于直线AB与x轴成600，由此可求得：，又|AM|=|AK|+|BN|，即 ，所以。 六、“统一定义”妙求参数的取值范围 例7、已知双曲线的右焦点为F，右准线为L，又以F为焦点，L为准线的椭圆，截直线所得的弦恰好被x轴平分，求实数k的取值范围。 解析：由焦点和准线方程，自然联想到统一定义来解题，由双曲线方程易得F（2，0），准线L：，设P为椭圆上任一点，由定义知，其中，平方整理得，且椭圆的中心为，由椭圆的对称性知，直线被椭圆截得的弦恰好被x轴平分的等价条件是该直线过点，于是有，整理得：，由于，所以， 因，故，解得：，即为所求。 3 用心 爱心 专心 D O F M N A B C X Y