高考数学复习点拨 异面直线定义释疑与判定.docVIP

异面直线定义释疑与判定 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 对定义的理解 异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其 中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件。 不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一个平面内”，如图1，直线 ，不能由m，n不同在平面上就误认为m，n异面，实际上，因可知，m与n共面，它们不是异面直线。也不能误解为“分别在某两个平面内的两条直线”，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者的直线只是画在某两个平面内，并不能确定这两条直线异面，它们可以是平行直线，也可以是相交直线，如图2所示。 判定方法 1、由定义判定两直线不可能在同一平面内； 2、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。 3、反证法：反证法是立体几何中证明的一种重要方法，反证法证题的步骤是：（1）提 出与结论相反的假设；（2）由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；（3）推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论。 典例分析 例1、如图，已知，且，求证：b，c为异面 直线。 证明：（1）因为，所以b与只有一个公共点，而，，所以c与b无公共点。 （2）因为，b上只有一个点在平面内，又，，所以c，b不在同一平面内。 结合（1）、（2）知，b，c是异面直线。 点评：“异面直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”含义不同，前者是指不可能找到一个平面同时包含这两条直线，后者的两条直线只是位于两个平面内，他们有可能同时在第三个平面内，利用定义重在证明无公共点又不在同一平面内。 例2、如图，已知直线a、b是异面直线，A、B是a上相异两点，C、D是b上相异两点，求证：AC、BD是异面直线。 分析：利用反证法 证明：假设直线AC、BD不是异面直线，则它们必共面，所以A、B、C、D在同一平面内，所以即，这与a、b是异面直线矛盾，所以AC、BD是异面直线。 点评：反证法是证明否定命题的基本方法，在立体几何中，下面三类问题常用反证法： （1）直接利用公理、定义证题，即在尚未建立有关定理作为依据的情况下证题； （2）证明某些唯一性结论的命题； （3）所证结论是一种否定性的命题。 例3、如图，空间四边形ABCD中，，AE是▲ABC的边BC上的高，DF为▲DBC的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线。 证明：由题设条件可知点E、F不重合，设▲BCD所在平面为，因为 ，，所以AE和DF是异面直线。 点评：利用判定定理时必须阐述出定理满足的条件：，然后可以推出直线a与AB是异面直线。 用心 爱心 专心