4独立性及习题课.pptVIP

必要性： 证 因为P(A∪B)≤1,由概率一般加法 由于A的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在. 例11 设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明事件A与B独立的充分必要条件 是 分析 A与B相互独立 利用条件概率公式及P(A)=1 进行推导. 证 ,由条件概率公式、差事件概率公式和对立事件概率公式得到 已知 充分性： , 移项得 化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立. 与B也 因事件A与B独立,知事件 从而 独立, 因此 例 12 设 0, 试证： 分析 通常用逆推法分析:若不等式成立, 则 即 P(AB)≥P(A)-1+P(B), P(A)P(B|A)≥P(A)-P( 可以得到 P(A)+P(B)-P(AB)≤1,?得到P( ≤1. ) 由乘法公式得到, P(A)+P(B)-P(A)P(B|A) ≤1. 移项, 有 P(A)P(B|A)≥P(A)-[1-P(B)]. 于是 P(A)P(B|A)≥P(A)-P 因为 P(A)0, 所以 ≥ 本题考查条件概率公式及一般加法概率公式,考查读者分析问题和逻辑推理能力. 讲评 公式, 得到 P(A)+P(B)-P(AB) ≤1. §1.6 事件的独立性 显然 P(A)=1/6= P(A|B) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立. 一、两事件的独立性 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约. P(AB)=P(B)P(A|B) 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. 两事件独立的定义 例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件A、B独立. 问事件A、B是否独立？ 解： P(AB)=2/52=1/26 P(B)=26/52=1/2 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立. 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 . 甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 例如 （即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率） 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响. 又如： 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立. 请问：如图的两个事件是独立的吗？ 即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥. 而P(A) ≠0, P(B) ≠0 故 A、B不独立 我们来计算： P(AB)=0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥? 这两个事件就是 S和 P( S) =P( )P(S)=0 与S独立且互斥 不难