2014中考数学试卷分类汇编-代数综合.doc

代数综合 1、（2013? 德州）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　） 　 A． y=﹣x+1 B． y=x2﹣1 C． D． y=﹣x2+1 考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 分析： 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 解答： 解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误； B、y=x2﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，正确． C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，错误； D、y=﹣x2+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，错误； 故选B． 点评： 本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目． 2、（2013?攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 解答： 解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）， 将C点坐标（0，﹣3）代入，得： a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1， 则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3， 所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3； （2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N． 设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得 ，解得， ∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3． 设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3）， ∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x． ∵S△PAC=S△PAN+S△PCN， ∴S=PN?OA =×3（﹣x2﹣3x） =﹣（x+）2+， ∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）； （3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形．理由如下： ∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）， ∵A（﹣3，0）， ∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20． 设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论： ①当A为直角顶点时，如图3①， 由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2， 解得t=， 所以点M的坐标为（0，）； ②当D为直角顶点时，如图3②， 由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2， 解得t=﹣， 所以点M的坐标为（0，﹣）； ③当M为直角顶点时，如图3③， 由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20， 解得t=﹣1或﹣3， 所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）． 点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． （1）求证：CD是⊙M的切线； （2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）证明：连结CM. ∵OA 为⊙M直径, ∴∠OCA=90°. ∴∠OCB=90°. ∵D为OB中点, ∴DC=DO.