8.匀速圆周运动中的机械能守恒问题(参数方程法).docVIP

8.匀速圆周运动中的机械能守恒问题 摘　要：重新解答了匀速圆周运动物体的机械能守恒问题，得出了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车上，匀速圆周运动物体机械能都守恒的新结论． 关键词：匀速圆周运动物体；动能；势能；机械能守恒 如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，问：小球在地面系（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系(O1-x1y1),机械能是否都守恒？ 解析：地球质量视为无限大，故稳定地保持为惯性系. 1、在地面系——设初相为0，v=ωR, x=Rcosωt y= R sinωt x′=-Rωsinωt y′= Rωcosωt x′′=-Rω2cosωt， y′′= -Rω2sinωt fx=m x′′= -mRω2cosωt fy=m y′′= -mRω2sinωt Ek(t) = m （x′′2+ y′′2）= m R2ω2. d Ep(t)= — fxdx—fydy=mRω2cosωt d（Rcosωt）+mRω2sinωtd(R sinωt) =d(mR2ω2cos2ωt+mR2ω2sin2ωt)=0. 设Ep(t)=0,所以E(t)?Ep(t)?Ek(t)??mv2. 这说明在静系机械能守恒，恒量为mv2. 2、小车系 直觉判断： 因为当质点的运动速度为垂直于x 轴时，我们规定此时静止系与运动系的势能相等，与地面系比较可以得出质点的动能增加m(?u)2?mu2， 所以，在小车参照系上观察时，质点的机械能为： E1(t)?E(t)?mu2= mv2?mu2（常数） 所以，在小车参照系上观察时，质点的机械能守恒，守恒值为mv2?mu2. 数学推导： 将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程： x1=x-ut=Rcosωt-ut y1= y=R sinωt x′1= x′-u=-Rωsinωt-u y′1= y′= Rωcosωt x′′1= x′′=-Rω2cosωt， y′′1= y′′= -Rω2sinωt fx1= fx =m x′′= -mRω2cosωt fy1= fy =m y′′= -mRω2sinωt Ek1(t) = m （x1′2+ y1′2）= m (-Rωsinωt-u )2+ m R2ω2cos2ωt= m R2ω2+mu2+mRuωsinωt. d Ep1(t)= — fxdx1—fydy1=mRω2cosωt d（Rcosωt -ut）+mRω2sinωtd(R sinωt) =d(mR2ω2cos2ωt+mR2ω2sin2ωt- mRuωsinωt)=d(mR2ω2- mRuωsinωt). Ep1(t)=?mR2ω2- mRuωsinωt.当u=0时，静止系与运动系的势能相等，也符合玻尔的对应原理. 所以E1(t)?Ep1(t)?Ek1(t)??mv2+mu2. 这说明在沿x方向匀速运动的小车系机械能也是守恒的，恒量为mv2+mu2，当然两个守恒量不相等，比地面系多出mu2. 当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理. 在本题中的约束力是弹力，弹力是保守力，进一步验证了这个问题，不过在这里轻绳的劲度系数认为是无穷大，忽略形变. 定理：质点做圆周运动的约束力是一个保守力，可以改变动能和势能，但是不改变质点的机械能. Brand-new explanation of mechanical energy conservation of object moving in even speed around circle Abstract：It refurbished the issue of mechanical energy conservation of the object moving in uniform speed around circle, which straightforwardly led to conclusion, no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth, the mechanical energy of the object moving in uniform speed around circle is always conservative. Key words：the object moving in uniform speed around circle；kinetic en