数值计算方法—绪论.ppt

什么是数值计算方法? 数值计算方法特点 数值计算方法重要性 本课程主要内容 本课程要求 数学问题的数值解法例示 例1..1.1试求函数方程x=cosx在区间 内的一个根。 解 数学问题的数值解法例示 现取h=0.05,其结果见下表: 数值计算方法的重要性 1. 科学与工程计算是20世纪最重要的科学进展之一。 2. 世界科学活动的三种主要手段和方式：数值计算，理论研究和物理实验三足鼎立。 3. 计算性科学分支：计算物理，计算生物学，计算地质学，计算材料学等。 4. … 教材 《数值分析及实验》 杜延松 沈艳军 覃太贵 编, 科学出版社, 2006年第1版 本课程要求 用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差 数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述 数学模型的准确解与实际问题的真解不同 观测误差（Measurement Error） Chapter 1 Introduction 例: 用四舍五入法则取x=4.26972的近似值 取其前2位x1* =4.3 ,有效数字为2位,此时 |x*1 –x1|=0.5×10-1 取其前4位x2* =4.270, 有效数字为4位,此时 |x*2 –x2|=0.5×10-3 注:数字末尾的0不可随意省去! 第一个数非零 误差限不超过该位的半个单位 定义2: 设x的近似值 为 2.有效数字的等价定义 例7. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字 解： 3.141592…= 0.3141592…× 3.142 = 0.3142× k = 1 |π-3.142 |=|0.3141592…× -0.3142× | ＜ 0.000041× ＜ 0.0005= × k –n =1–n = –3 所以 n =4，具有4位有效数字 解: 3.14159265358979323846… 例 有效数字 k-n=-2,即 n =3 , 3位有效数字， k-n=-4 , 即 n =5 , 5位有效数字 练习 有效数字的位数不能仅考虑 1位有效数字，即n =1 5位有效数字，即n=5 但 例8 最多有5位 有效数字 　　显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，我们给出相对误差界与有效数字的关系。 定理 设 的近似值 有（1.2.1）的表达式。 （1）如果 有 位有效数字，则 （1.2.2） 则 至少具 位有效数字。 （2）如果 （1.2.3） 有效数字的位数 估计相对误差限 有效数字的位数越多，相对误差限就越小 相对误差限估计有效数字的位数 相对误差限越小， 有效数字的位数就越多 3. 有效数字与相对误差之间的关系 证 由（1.2.1）可得到 （1.2.4） 所以，当 有 位有效数字时， 即（1.2.2）得证。 定理 设 的近似值 有（1.2.1）的表达式。 （1）如果 有 位有效数字，则 （1.2.2） 由（1.2.3）和（1.2.4）有 即说明 有 位有效数字，（2）得证。 证 定理 设 的近似值 有（1.2.1）的表达式。 则 至少具 位有效数字。 （2）如果 （1.2.3） Chapter 1 Introduction 例9 用x*=2.72来表示e的具有三位有效数字的近似值。求x*的相对误差限? 解： 例10 要使 的近似值的相对误差限小于0.1% ，要取几位有效数字? 解: 设应取n位有效数字，由定理1有 例11 已知近似数 的相对误差界为0.3%，问 至少有几位有效数字？ 解 设 有 位有效数字，由于 的第一个有效数 没有具体给定，而我们知道 一定是1，2， ，9中的一个，由 故由（1.2.3）式知 =2，即 至少有2位有效数字。 A x Chapter 1 Introduction 已知：x*=31.2063的绝对误差ε*=0.5×10 -3，问x*有多少位有效数字？ 例 解法1： 可知x准确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非零数字共有5位，因此有5位有效数字。 解法2： m=2 m-n=