2016年【全程复习方略】高考数学（文科人教A版）大一轮课时作业：. 基本不等式.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(三十五) 基本不等式 (25分钟　60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列不等式:①a2+12a;②≤2;③x2+≥1,其中正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.①②不正确,③正确,x2+=(x2+1)+-1≥2-1=1. 2.(2013·福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2. 3.(2015·济南模拟)设a0,b1,若a+b=2,则+的最小值为(　　) A.3+2 B.6 C.4 D.2 【解析】选A.由题可知a+b=2,a+b-1=1,所以+=(a+b-1)= 2+++1≥3+2,当且仅当a=2-,b=时,等号成立,故选A. 4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 【=. 5.若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是(　　) A.[-1,2] B.[1,2] C.[-1,1] D.[-2,2] 【解析】选A.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0, 所以x2+y2+z2≥xy+xz+yz, 所以xy+yz+zx≤2; 又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0, 所以xy+xz+yz≥-(x2+y2+z2)=-1. 综上可得:-1≤xy+xz+yz≤2. 故选A. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2015·青岛模拟)下列命题中正确的是　　　　　(填序号). ①y=2-3x-(x0)的最大值是2-4; ②y=sin2x+的最小值是4; ③y=2-3x-(x0)的最小值是2-4. 【解析】①正确,因为y=2-3x-=2-≤2-2=2-4. 当且仅当3x=,即x=时等号成立. ②不正确,令sin2x=t,则0t≤1, 所以g(t)=t+, 显然g(t)在(0,1]上单调递减, 故g(t)min=g(1)=1+4=5. ③不正确,因为x0,所以-x0,最小值为2+4,而不是2-4. 答案:① 【误区警示】此题容易出现答案为①②,是因为做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的. 7.(2013·四川高考)已知函数f(x)=4x+(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 【解析】由题f(x)=4x+(x0,a0),根据基本不等式4x+≥4,当且仅当4x=时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36. 答案:36 8.已知x,y为正实数,3x+2y=10,+的最大值为　　　　. 【解析】由≤ 得+≤ ==2, 当且仅当x=,y=时取等号. 答案:2 【一题多解】此题还可以这样解: 设W=+0, W2=3x+2y+2·=10+2·≤10+()2+()2=10+(3x+2y)=20, 所以W≤=2, 当且仅当x=,y=时等号成立. 答案:2 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知a,b是正数,求证:≥. 【证明】因为a,b是正数,利用均值不等式, =2ab++2+ =+≥2+=, 所以≥. 10. (2015·淄博模拟)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)? 【解析】方法一:设y为流出的水中杂质的质量分数, 则y=,其中k为比例系数,且k0, 依题意,即所求的a,b值使y最小. 据题意有:4b+2ab+2a=60(a0,b0), 所以b=(0a30). 所以ab=a×==-a+32- =34-(a+2+)≤34-2=18. 当a+2=时取等号,y达到最小值. 此时解得a=6,b=3. 答:当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 方法二:设y为流出的水中杂质的质量分数, 则y=,其中k为比例系数,且k0, 依题意,即所求的a,b值使y最小. 据题意有:4b+2ab+2a=60(a0,b0), 即2b+ab+a=30,因为a+2b≥2, 所以30-ab=a+2b≥2. 所以ab+2-30≤0. 因为a0,b0,所以0ab≤18, 当a=2b时取等号,