2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案不等式选讲.doc

学案76　不等式选讲 (一)绝对值不等式 导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 自主梳理 1．含________________的不等式叫做绝对值不等式． 2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种： (1)分段讨论： 根据|f(x)|＝去掉绝对值符号． (2)利用等价不等式： |f(x)|≤g(x)?－g(x)≤f(x)≤g(x)； |f(x)|≥g(x)?f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)． (3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号． 3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种： (1)运用绝对值的几何意义； (2)____________________； (3)构造分段函数，结合函数图象求解． 4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当____________时，等号成立． (2)重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即 |a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0； |a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0； |a|－|b|＝|a＋b|?b(a＋b)≤0； |a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0； 注：|a|－|b|＝|a＋b|?|a|＝|a＋b|＋|b|?|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|?b(a＋b)≤0. 同理可得|a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0. 自我检测 1．(2010·江西)不等式＞的解集是(　　) A．(0,2) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 2．(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________. 3．(2011·潍坊模拟)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　) A．a5 B．a≤5 C．a5 D．a≥5 4．若不等式|x＋1|＋|x－2|a无实数解，则a的取值范围是________． 5．(2009·福建)解不等式|2x－1||x|＋1. 探究点一　解绝对值不等式 例1 解下列不等式： (1)1|x－2|≤3； (2)|2x＋5|7＋x； (3)|x－1|＋|2x＋1|2. 变式迁移1 (2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|3. 探究点二　绝对值不等式的恒成立问题 例2　(2011·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为?. 分别求出实数m的取值范围． 变式迁移2　设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 探究点三　绝对值三角不等式定理的应用 例3　“|x－A|，且|y－A|”是“|x－y|ε”(x，y，A，ε∈R)的(　　) A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式迁移3　(1)求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值； (2)求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值． 转化与化归思想的应用 例　(10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a (－1≤x≤1)， (1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值. 多角度审题　第(1)问|f(x)|≤?－≤f(x)≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤；二是证明－≤f(x)≤亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上． 【答题模板】 证明　(1)方法一　∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1， ∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x| ＝－2＋≤.[3分] ∴若|a|≤1，则|f(x)|≤.[5分] 方法二　设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x. ∵－1≤x≤1， ∴当x＝±1， 即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；[1分] 当－1x1即x2－10时，g(