2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案两角和与差的正弦、余弦和正切.doc

学案21　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用． 自主梳理 1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α＋)＝_____________________________________________， tan(－)＝_____________________________________________. (，，＋，－kπ＋，kZ) 其变形为： tan ＋tan ＝tan(＋)(1－tan tan β)， tan －tan ＝tan(－)(1＋tan tan β)． 2． asin α＋bcos ＝sin(α＋)， ． 1．(2010·)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°(　　) A. B. C. D. 2．cos＋sin ＝，sin的值是 (　　) A．－B. C．－D. 3．f(x)＝sin 2x－cos 2x(　　) A. B．C．2D．4 4．(2011·台州月考)设0≤α2π，若sin αcos α，则α的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 5．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，则|a＋b|的最大值为(　　) A．1 B. C．3 D．9 探究点一　给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例1　求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]； (2)sin(＋75°)＋cos(＋45°)－·cos(θ＋15°)． 1　求值：(1)； (2)tan(－)＋tan(＋)＋tan(－)tan(＋)． (1)原式 ＝·sin 80° ＝· sin 80° ＝·cos 10° ＝·cos 10° ＝·cos 10°＝2sin 60° ＝2×＝. (2)原式＝sin[(＋45°)＋30°]＋cos(＋45°)－·cos[(θ＋45°)－30°] ＝sin(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＋cos(＋45°)－cos(θ＋45°)－sin(θ＋45°)＝0. ＝sincos＋cossin ＝×－×＝－. ∴sin(α＋)＝. 变式迁移2　解　(1)由tan＝2，得＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝. (2) ＝ ＝＝ ＝－tan(α－β)＝－ ＝－＝. 例3　解题导引　(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角． 解　(1)∵tan ＝， ∴sin α＝sin＝2sin cos ＝＝＝＝. (2)∵0α，sin α＝，∴cos α＝. 又0αβπ，∴0β－απ. 由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝×＋×＝＝. 由βπ得β＝π. (或求cos β＝－，得β＝π) 变式迁移3　解　∵A、B均为钝角且sin A＝，sin B＝， ∴cos A＝－＝－＝－， cos B＝－＝－＝－. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－×－×＝.① 又∵Aπ，Bπ， ∴πA＋B2π.② 由①②，知A＋B＝. 课后练习区 1．D　2.D　3.B　4.A　5.A 6．－　7.－　8.　－π 9．解　(1)∵β∈，cos β＝－， ∴sin β＝.…………………………………………………………………………(2分) 又∵0α，βπ， ∴α＋β，又sin(α＋β)＝， ∴cos(α＋β)＝－ ＝