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三次扩张的整闭包 龚成 华东师范大学数学系，上海（200241 ） E-mail ：gongcheng365@126.com 摘 要：计算有限扩张的整闭包不但是交换代数中的一个核心问题，也很受代数几何以及代 数数论发展的推动。 本文在前人研究的基础上，去掉2 ，3 可逆的这一条件，给出了诺特唯一分解环上的三次扩 张的整闭包的描述，并由此刻画了一批该扩张下的整元。并在此基础上，对纯三次扩张和3 可逆的一般三次扩张进行了比较细致的讨论。 关键词：诺特唯一分解环，三次扩张，整闭包 中图分类号：0153 1. 引言 计算有限扩张的整闭包不但是交换代数中的一个核心问题，也很受代数几何以及代数数 论发展的推动。 Hilbert 在环上的代数不变量的计算本质就是正规化的计算![13] 在Fields 奖得主，代数几何学家David Mumford 的“The red book of varieties and scheme” 一书中就认为诺特正规化定理是代数几何中一个基本的预备定理. 冯克勤教授在其《代数数论》中也称对任意的域 K,有效的求出其上的整元是一个人们 长期以来都关心的问题。 早在1801 年。Gauss 就在《Disquisitiones Arithmeticae》一书中完成了对于Z 上二次扩 张整闭包的计算。而对于Z 上的纯三次扩张已由Dedekind 完满解决，（在其1899 年的论文 [5]中提到了这一结果）。而后, Z 上的一般三次扩张也引起了人们的很大关注。Markov 和 Mathews 先后对这一问题进行了研究（[9]和[10]）。 在前人的基础上，Voronoi 在该问题上得到了很重要的结果。他在其学位论文[16]中， 将Z 上一般三次扩张整闭包的求解化为由三个同余方程组成的方程组的求解。而 Berwick 在[4]对这类同余方程组进行了初步的探讨。 接着在二十世纪三十年代，Albert 又重新开始系统研究Z 上的一般三次扩张（[1][2]）， 并得到了很好的结果。1940 年，苏联数学家Delone 和Faddeev 总结前人关于Z 上三次扩张 的研究结果，写下了《The theory of irrationalities of the third degree》([6])一书。直到1991 年，Shaprio 和Sparer 才在[12]，基本上完成了对Z 上的一般三次扩张的研究。 至于一般交换环上的有限扩张的整闭包的研究，其中一个重要推动力来自于代数几何， 在[7]中就有对诺特唯一分解环上n 次循环扩张整闭包的一个讨论。 谈胜利教授为了代数几何的需要，开始了对诺特唯一分解环上的有限扩张的整闭包的 研究。在[14]中谈胜利教授研究了诺特唯一分解环上三次扩张的整闭包，接着谈胜利教授又 和Zhang De-Qi 合作在[15]中研究了诺特唯一分解环上的四次扩张，五次扩张以及B-J 扩张 的整闭包。 由于谈胜利教授在[14]中的关于三次扩张整闭包结果，需要交换环R 上2，3 可逆。但 事实上很多重要的环2，3 并不可逆（如Z上的多项式环），因此研究一般诺特唯一分解环 上的三次扩张的整闭包是很有必要的。特别其在数论及其它方面有很大的用处。 本文运用谈胜利教授在[14]中的核心定理，通过一些特殊的变换，来给出一个关于一般 -1- 诺特唯一分解环上的三次扩张的整闭包的描述。特别对于一般诺特唯一分解环上的纯三次扩 张给出了一个很好的讨论。 2. 主要结果 本文中探讨的环均指含单位元的交换环 R 是诺特唯一分解环， K 是它的分式域。x 3 +ax +b 是 R 上的不可约多项式，α是 x 3 +ax +b 的一个根， 取判别式δ 4a3