三次函数的零点问题.docVIP

三次函数的零点问题 1、(2006全国卷Ⅱ)设a为实数,函数 (Ⅰ)求. (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线. 解：(I)=3－2－1 若=0，则==－，=1 当变化时，，变化情况如下表： (－∞，－) － (－，1) 1 (1，+∞) + 0 － 0 + 极大值 极小值 ∴的极大值是，极小值是 (II)函数 由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小的负数时有0，所以曲线=与轴至少有一个交点 结合的单调性可知： 当的极大值0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当的极小值－10即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。 ∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点 2、（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数．，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．解：, 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 3、已知函数，x其中a0. （I）求函数的单调区间； （II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （III）是否存在常数a，使得函数在区间（-2，0）内恰有一个零点，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由； 【答案】 4、（2009陕西卷文）（本小题满分12分） 已知函数 求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：（1） 当时，对，有 当时，的单调增区间为 当时，由解得或； 由解得， 当时，的单调增区间为；的单调减区间为。 （2）因为在处取得极大值， 所以 所以 由解得。 由（1）中的单调性可知，在处取得极大值， 在处取得极小值。 因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，， 结合的单调性可知，的取值范围是。 5、【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 12.【答案】C． 【解析】，令则或，当时；当时；当时， 所以时有极大值，当时有极小值，函数有三个零点，，且，又，，即，因此，.故选C. 6、（湖南21）已知函数有三个极值点。 （I）证明：； （II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。 解：（I）因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. 设则 当时， 在上为增函数; 当时， 在上为减函数; 当时， 在上为增函数; 所以函数在时取极大值,在时取极小值. 当或时,最多只有两个不同实根. 因为有三个不同实根, 所以且. 即,且, 解得且故. （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点. 不妨设为（），则 所以的单调递减区间是, 若在区间上单调递减， 则, 或, 若,则.由（I）知，,于是 若,则且.由（I）知， 又当时，; 当时，. 因此, 当时，所以且 即故或反之, 当或时， 总可找到使函数在区间上单调递减. 综上所述, 的取值范围是. 7、（全国二理 22）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：． 解：（1）求函数的导数；． 曲线在点处的切线方程为： ， 即 ． （2）如果有一条切线过点，则存在，使 ． 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根． 记 ， 则 ． 当变化时，变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ．