立体几何中轨迹问题的解题策略.pdfVIP

维普资讯 · 20 · 中学教研 (数学) 2008年第7期 立 体 几 何 中 轨 迹 问题 的 解 题 策 略 ●朱 燕 (镇海中学 浙江宁波 315200) 《普通高中数学课程标准》提出 “在高中数学的教学 3 轨迹为曲线型 中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系”，高考 3．1 轨迹 为椭 圆 大纲也提出了数学整体性和综合性的要求，于是立体几何 例3 在三棱柱ABC-A。BC。中，二面角A—cc。一 的大 与解析几何作为几何 内容的2个分支，两者 “联姻”而成的 小为30。，动点 在平面 ACC。A。上运动 ，且 到平面 题型逐渐成为高考与各地模拟试题中的 “热点”．这类题型 BCC。B，的距离d=MA，则点 的轨迹为 ( ) 立意新 ，知识交叉渗透，学生常感到无从下手．本文将通过 A．直线 B．抛物线 所求轨迹的类型来介绍如何找到这类 问题的突破 口，顺利 C、双曲线 D．椭圆 解决问题． 分析 如图2，过 作MNj_平面 BB。CC于点 Ⅳ，作 1 轨迹为点型 MDj_CC。于D，连结MD．由三垂线定理，可得DN~CC。，因 例 1 已知平面 ∥平面 ，直线 !Ca，点P∈Z，平面Ol， 此Z_MDN=30。，则 卢之间的距离为4，则在卢内到点P的距离为5且到直线的 ÷MD=MN=MA， 0 距离为-g--的点的轨迹是 ( ) 厶 即 ：÷． A．一个圆 B．2条平行直线 又由圆锥 曲线第二定义可知，点 的轨迹为椭圆．故选D． C．4个点 D．2个点 分析 如图1，设点P在平面 点评 利用二面角为定值这一特点转化为椭圆定义来 内的射影为点 0，则OP是Ol，的公 求解． 垂线，卯 =4．在平面 口内到点 P的 距离等于5的点到点 0的距离等于 3，因此所求点的轨迹是在平面口内 以点0为圆心，3为半径 的圆上．又 因为在平面 内到直线Z的距离等 图1 c1 于÷的点的集合是2条平行直线m，n，它们到点0的距离 图 2 图3 都等于 3．2 轨迹为抛物线型 √(寻) = 3， 例4 在正方体ABCD-A1B1CiD1中，P是侧面BB1C1C 内一动点，若点P到直线BC与直线 c。D。的距离相等 ，则 所 以直线m，n与这个圆均相交 ，共有4个交点．从而所求点 动点P的轨迹所在的曲线是 ( ) 的轨迹是4个点 ，故选 C． A．直线 B．圆 点评 把空间的距离问题转化为平面问题来求解． C．双曲线 D．抛物线 2 轨迹为直线型 (2004年北京市数学高考试题) 例2