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第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 试证明在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。 解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件 ，如图所示。 对于，由相角条件 满足相角条件，因此在根轨迹上。 将代入幅值条件： 解出 ： ， 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出时系统的闭环传递函数。 （1） （2） 解 (1) (2) = 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 根轨迹如图。 时， 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ (2) (3) (4) 解 ⑴ 三个开环极点：,, ① 实轴上的根轨迹：, ② 渐近线： ③ 分离点： 解之得：，(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为 令 解得 与虚轴的交点（0，）。 根轨迹如图所示。 ⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：, ② 分离点： 解之得：。 根轨迹如图所示。 ⑶根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：, ② 渐近线： ③ 分离点： 用试探法可得 。 根轨迹如图所示。 (4) 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点： 求解得： 根轨迹如图所示。 4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。 解 (1) ① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-] ② 分离点： 求解得 ③ 渐近线： 根轨迹如图所示。 (2) 系统临界稳定时 (3) 系统临界阻尼比时 4-6 已知系统的开环传递函数为，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。 解 实轴上的根轨迹： 渐近线： ③分离点： 解之得：。 ④与虚轴交点： 把代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得： 解得： ⑤起始角： 由相角条件，。 根轨迹如图所示。 所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时 所以 4-7 单位反馈系统的开环传递函数为， 试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。 解 ：根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ② 渐近线： ③ 与虚轴交点：闭环特征方程为 把代入上方程， 令 解得： ， 根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的值范围为 。 4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出4个起始角）。 解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： ② 渐近线： ③ 分离点： 解之得： (舍去) ④　与虚轴交点：闭环特征方程为 把代入上方程， 令 解得： ⑤　起始角： 解出 根轨迹如图所示。 4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参数的根轨迹。 (1) ，；(2) ， 解 (1) ① 实轴上的根轨迹： ② 渐近线： ③ 分离点： 根轨迹如图所示。 (2) ① 实轴上的根轨迹： ② 起始角终止角： 解得起始角 解得终止角 根轨迹如图所示。 4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。 解 实轴上的根轨迹： 分离点：， 渐近线：， 与虚轴交点：， 根轨迹如图所示。 ，， 结论：时所有根为负实根，时系统稳定。 4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数变化时系统的根轨迹，并分析参数的变化对系统动态性能的影响。 解： 作等效开环传递函数 根轨迹绘制如下： （注意： ① 实轴上的根轨迹：, ② 分离点： 解得。 根据幅值条件，对应的。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为 把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 解得： ④ 起始角： 参数从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！) 从根轨迹图可以看出，当时，系统阶跃响应为单调收敛过程；时，阶跃响应为振荡收敛过程；时，有两支根轨迹在s右半平面，此时系统不稳定。 若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下： 三条根轨迹中两条