解题小品——与角平分线有关的性质及其应用.pdfVIP

12 中 等 数 学 解 题 ．一，卜 品 — — 与角平分线有关的性质及其应用 陶 平 生 (江西科技师范学院数学与计算机科学系，330013) 我们将有关角平分线的如下一个性质称 一 为 “对称比定理”： AD 一 ，lD ’ 若 ，、，．分别为△ ABC的内心、 A内 至于后一命题，只需用同一法便知． 的旁心，角平分线 交BC于点D、交△ABC 这是一个很有用的性质，利用它可给某 的外接圆于点 A，则 些平面几何问题赋予新的解法． Al l1AI AI iAI 例 1 设锐角△ ABC的三边长互不相 lD— ALD AD— lD 。 等，0为其外心，点 A。在线段 AO的延长线 又若 P是 延长线上的一点，且满足 上，使得 。A= CA。A，过点 A。分别作 或~有AI= Ao 上AC、A。A。上AB，垂足分别为 A 、A：， = ， 则 P为边 外的 作A 上BC，垂足为 ．记△ 44：的外 旁心． 接圆半径为 ，类似地可得 、R ．求证： 证 明：如 图 1，由 l 1 l 2 △ ACDC／~ BA，D得 鬲+ + ’ AC BAl (2008，中国数学奥林匹克) DC —AlD ‘ 证明：首先，易知 _4。、B、0、C四点共圆． 又 A B=A 1 事实上，如图2，作△A，BC的外接圆，设 = A)Il， AI AC 它与直线 AO的交点P异于点 0．据等角对 A—D ， 等弦得 PB=PC． 图 1 又 OB=OC，故 、C关于直线 PO(即 则 = ． AO)对称 ，得 AB=AC，矛盾． 据合分比得 设 n④O=D． (第 35届 IMO) ： 0，一1，但此时 “ (一1，0)，故 u+2M 是 (一1，0)内与 u不同的又一个不动点．这 (提示：由于 在 (一1，0)内严格递 与 n的唯