常微分方程A.docVIP

（ 2008 至 2009 学年 第_2__学期 ） 课程名称： 常微分方程 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7106740 试卷总分： 100 分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 得分 评卷 教师 一、选择题（每小题2分 共10分） 1、微分 1、微分方程 的的阶数为（ ） A．1 A. 3 B．2 C．1 D．5 2、下列方程中的线性微分方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 3、是方程（ ）的解，（为任意常数） A． B． C． D． 4、一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）． （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解 5、阶线性齐次微分方程的任意个解必（ ）． （A）可组成一个基本解组 （B）线性相关 （C）朗斯基行列式恒不为0 （D）线性无关 二、填空题（每空2分 共10分） 设是阶常系数齐次线性方程特征方程的重根，则该方程相应于的个 线性无关的解是 . 微分方程定义在矩形域上，则经过的解的存在区间是 . 3、 函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零. 4、微分方程，它有形如 的特解. 5、齐次方程做 变换可化为变量分离方程. 三、计算题（每小题8分 共40分） 1、求微分方程 y(0) = 1解. 求微分方程的解. 求方程的通解。 求微分方程的通解。 四 计算题（8分）求微分方程的奇解. 五 求下列高阶微分方程的通解（第一小题8分，第二小题4分， 共12分） （1）求方程的通解。 （2） 六、求下列微分方程组的通解（每小题10分 共20分） （1） 一、选择题（每小题2分 共10分） 1. A 2. B 3. A 4. C 5.B 二、填空题（每空2分 共10分） 参考答案及评分标准： 1、; 2、 3、充要 4、 5、 三、计算题（每小题8分 共32分） 评分标准： 1、解: 分离变量得, ……………………4分 两边分别积分得通解, ................6分 以初始条件代入确定积分常数c:, 得 c=0, 代入通解表达式, 化简得:, 开方得显式解为: ..................7分 (另一解, 不满足初始条件, 舍去). ..................8分 2、 判定为隐式方程，可用微分法 解之，特解为 ..................4分 通解为 ..................8分 3、作变量代换:, , 则方程化为齐次方程 .............2分 再作变量代换: .得化简得分离变量方程 ： . ..................4分 化简得:, …………………6分 用变量表示为, 用原变量表示得通解为......8分 4、因为，则方程为恰当方程 ..................2分 解之，通解为 ..................8分 5、解：这是时的伯努利方程。令 得 代入原方程得到 这是线性方程，求得它的通解为 代回原来的变量，得到 这就是原方程的通解 此外，方程还有解 四、求微分方程的奇解.（8分） 评分标准： 解： 从消去，得到判别曲线该曲线是方程的解 ………2分 是方程的特征值， 设 …………………4分 得： 则 得： …………………6分 因此方程的通解为：……..8分 （2）、对应的齐次方程的特征方程