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专题六 二次函数的最值问题 经典例题解析 例1 、如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为． （1）请你用含的代数式表示． （2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面 的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？ 例2 、正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直， （1）证明：； （2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积； （3）当点运动到什么位置时，求的值． ．．．． 例4 、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交 于点C(0，4)，顶点为(1，)． (1)求抛物线的函数解析式； (2)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在对称轴上且使△CDP为等腰三角形．请直接写出满足条件的所有点的坐标P； (3)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合)，连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 同步训练 1、如图，形ABCD中，AB=，=8，线段BC上点连结D，作E⊥DE，E与BA交于点设C=x，B=y． （）y关于x的函数关系式；（），要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 2、如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点 （1）若与相似，则是多少度？ （2）试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切，求线段的长． 3、如图，在平南直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在轴和轴的正半轴上，且长分别为，D为边AB的中点，一抛物线经过点A、D及点M. （1）求抛物线的解析式（用含的式子表示）； （2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A，处，连接OA，并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线与线段CE相交，求实数的取值范围； （3）在满足（2）的条件下，求出抛物线顶点P到达最高位置时的坐标. [来源:Z+xx+k.Com] 4、已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将 沿翻折得到，再在边上选取适当的点将沿翻折， 得到，使得直线重合． （1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的 直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标。 5、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米. （1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围. 6、如图.抛物线与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点C. (1)求点A、点B和点C的坐标. (2)求直线AC的解析式. (3)设点M是第二象限内抛物线上的一点,且=6,求点M的坐标. (4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时, △APQ的面积最大,最大面积是多少? 7、已知：如图，抛物线与轴交于点、点，与直线相交于点、点，直线与轴交于点。 （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？ 8、如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．1）求证：； 设EF，当为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值； 当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度