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第一章 行列式 1.余子式与代数余子式的特点，它们之间的联系 在阶行列式中，元素的余子式是把中第行和第列划去后留下来的阶行列式，实质上它还是表示一个数，并且元素的余子式和代数余子式仅与位置有关，而与元素的数值大小和正负无关。它们之间的联系是. 因此，当为偶数时，；当为奇数时，. 2.行列式的性质有： ① 行列式与它的转置行列式相等。 ② 互换行列式的两行（列），行列式变号。 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 ③ 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；或者，行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式记号的外面。 ④ 行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式等于零。 ⑤ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为行（列），其余各行（列）与原行列式相同。 ⑥ 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。 ⑦ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 3.计算行列式通常采用的方法是 计算行列式通常采用的方法有 ① 对于二阶与三阶行列式可以用对角线法则； ② 对于特殊的行列式可采用行列式的定义去求； ③ 利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式去计算； ④ 利用行列式按行（列）展开法则计算行列式； ⑤ 利用数学归纳法计算阶行列式； ⑥ 利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； ⑦ 利用升阶法（或加边法）计算行列式。 第二章 矩阵及其运算 1．矩阵 矩阵是线性代数最重要的概念之一，由于对矩阵可以进行运算和变换，所以它成为线性代数的有力工具，是线性代数全部内容的纽带和桥梁。它在数学与其他自然科学、工程技术、社会科学特别是经济学中有着广泛的应用。例如，一般线性方程组有解的充要条件和作为解线性方程组基础的克莱姆定理都可以用矩阵运算导出；二次型的研究可以转化为对称矩阵的研究；由于线性变换与矩阵存在一一对应关系，从而可以利用矩阵来研究线性变换；向量组的线性相关性讨论也可以利用矩阵来研究。 2．矩阵乘法不满足交换律 因为按照矩阵乘法的规定，只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数与第二个矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵相乘才有意义。否则无意义。另一方面，即使与都有意义，与仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律。即在一般情况下，. 但是对于同阶方阵，是一定成立的，这是因为. 又对于数的运算，交换律成立，即，故. 3．判断矩阵可逆的常用方法 判断矩阵可逆的常用方法有 （1）若有方阵，使或，则可逆，且. （2）计算方阵（如）的行列式是否不为零，若，则为可逆矩阵。 （3）若的伴随矩阵可逆，或，则可逆。 （4）以后还会学到如下判别方法： ① 若阶矩阵的秩，则可逆。同理，若，则可逆。 ② 若方程组有唯一解或只有零解，则可逆。 ③ 若阶矩阵的行（列）向量组线性无关，或为的基础解系，则可逆。 ④ 若阶矩阵的行向量组或列向量组两两正交，则可逆。 ⑤ 若方阵的特征值全不为，则可逆。 5．什伴随矩阵，主要性质 方阵的行列式的各列（行）的各个元素的代数余子式写在同序数的行（列）上所构成的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵。记为. 即若，则. 的主要性质有： ① ； ② 若，则，. ③ 若，，则，. ④ . ⑤ . ⑥ . 6．方阵的高次幂常用的方法 求方阵的高次幂的常用方法有 ① 利用数学归纳法（找“规律”法）； ② “二项展开式”法：分解，且，利用二项展开公式 . ③ 当时，其中均为矩阵，利用矩阵乘法的结合律 . ④ “方阵的对角化”法：利用相似对角化，即求可逆矩阵，使得 ，则. ② 可将大矩阵的运算化为小矩阵的运算，从而使运算条理化； ③ 可为某些命题的证明提供方法。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1．初等变换有哪些应用？ ① 求矩阵的秩；② 求逆矩阵；③ 解线性方程组。 2．求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方法？ 求一个可逆矩阵的逆矩阵的常用方法有 ① 利用定义求逆矩阵，即若（或），则. ② 利用伴随矩阵求逆矩阵，即. ③ 利用分块对角矩阵求逆矩阵。即；. 其中均可逆。 ④ 利用初等行变换求逆矩阵，即 . 这是求逆矩阵最常用的方法。 3．用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？ 答：① 对于非齐次线性方程组，将增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形；从的行阶梯形可同时看出