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微分方程的幂级数解法.pdf
§13.8 微分方程的幂级数解法 一、问题的提出 dy 2 2 例如 = x + y , dx 解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法. dy 二、 = f (x,y ) 特解求法 dx dy 问题 求 = f (x , y ) 满足y x = x 0 = y 0 的特解. dx 其中f (x , y ) = a + a (x - x ) + a (y - y ) 00 10 0 01 0 l m + L+ a (x - x ) (y - y ) . lm 0 0 y = y + a (x - x ) + a (x - x )2 + L 0 1 0 2 0 其中a , a , L, a , L为待定的系数. 1 2 n dy 2 例1 求 = x + y 满足y |x = 0 = 0的特解. dx 解 Qx 0 = 0， y 0 = 0, 设y = a x + a x 2 + a x 3 + L+ a x n + L, 1 2 3 n y ¢ = a + 2a x 1 + 3a x 2 + L+ na x n-1 + L, 1 2 3 n ¢ 将y , y 的幂级数展开式带入原方程 a + 2a x + 3a x 2 + 4a x 3 + L 1 2 3 4 = x + (a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 + L)2 1 2 3 4 2 2 3 2 4 = x + a x + 2a a x + (a + 2a a )x + L 1 1 2 2 1 3 比较恒等式两端x 的同次幂的系数, 得 1 1 a1 = 0, a2 = , a3 = 0, a4 = 0, a5 = , L, 2
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