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第12章：定解问题的分离变量法.pdf
第12章定解问题的分离变量法 12.1 分离变量法的基本思想 12.2 分离变量法应用 12.3 柱坐标中的分离变量 12.4 球坐标中的分离变量 1 定解问题常用解法 分离变量法、积分变换、变分法、复变函数法、 数值方法。分离变量法的基本思想 偏微分方程 常微分方程的 分离变量 的定解问题 初值问题和边值问题 常微分方程：求出通解，然后由初始条件或边界 条件求待定系数 偏微分方程：一般不可能求通解，而且通解中含 有待定函数，因此直接求满足初始条件或边界条 件的特解 2 12.1 分离变量法的基本思想 基本概念：驻波、波节、波腹，基频、本征 频率、波的叠加，等等。 两端固定弦的自由振动 （1）泛定方程 2 utt −a uxx 0, (t 0, 0 x l) (1) （2）初始条件 u(x ,0) ϕ(x ); u (x ,0) ψ(x ), (0 x l) (2) t 3 （3）边界条件 u(0,t) u(l,t) 0, (t ≥0) (3) u(x ,t) • • 0 x l 4 第一步：泛定方程的分离变量 考虑如下形式的特解 u(x ,t) X (x )T (t), (4) 代入方程（1） 2 X T XT −a X T 0 ⇒ X 2 a T 分析：左边：x 的函数；右边t 的函数，而x 和 t 是独立变量，故只有两边为同一常数(-λ) 。 由此得到二个常微分方程 5 2 X +λX 0; T +λa T 0, (5) 第二步：边界条件的分离变量 （4 ）代入
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