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《矩阵论》大作业 题 目 线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解 学生姓名 赵伟 学 号 20131221455 学 院 信息与控制学院 专 业 系统科学 指导教师 李远禄 二Ｏ一 三 年 11 月 20 日 矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解 摘要：我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。 关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解 1 线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数 如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R、L、C分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程： 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。 状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。 图1 将上式方程组改写成状态空间表达式为： （1） 如将电容上的电压uc作为电路的输出量，则 （2） 令x=,u=u(t),y=uc(t),A=,b=,C=,则上面方程改写成如下： x、=Ax+bu （3） y=Cx （4） 其中x为2维的状态变量；u为标量输入；y为标量输出；A为2X2系数矩阵；b为2X1输入矩阵；C为1X2输出矩阵。式(1)(2)或式(3)(4)为上图所示电路系统的状态方程。 将上面分析结果推广到一般情况如下图2所示： 图2 X为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量，即，u=，y=则系统方程为 x=Ax+Bu (5) y=Cx+D (6) 其中A为nXn系数矩阵；B为nXr输入矩阵；C为mXn输出矩阵；D为mXr直接传输矩阵，即；；；。 上式(5)(6)中矩阵A、B、C、D的诸元素是实常数时则称这样的系统为线性定常系统或线性时不变系统。如果这些元素是时间t的函数，即x、=A(t)x+B(t)u;y=C(t)x+D(t)u,则称系统为线性时变系统。 对于线性定常系统(5)(6)表达式进行拉普拉斯变换得: sx(t)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)[sI-A]x(s)=Bu(s)+x(0) 如果[sI-A]存在,则x(s)=[sI-A]-1Bu(s)+[sI-A]-1x(0) 若x(0)=0则有x(s)=[sI-A]-1Bu(s)=Gxu(s)u(s)，则Gxu(s)=[sI-A]-1B=式中，Gxu(s)为状态变量对输入变量传递函数矩阵。 y(s)=Cx(s)+Du(s)=C[sI-A]-1Bu(s)+Du(s)={C[sI-A]-1B+D}u（s）=Gyu(s)u(s) 得Gyu(s)=C[sI-A]-1B+D=式中Gyu(s)为系统输出向量对输入向量的传递函数矩阵，简称传递函数矩阵。其结构为： Gyu(s)=式中gij(s)表示只有第j输入作用时第i个输出量yi(s)对第j个输入量uj(s)的传递函数（i=1,2,…,m;j=1,2,…,r）。 2 线性定常系统状态方程的解 在(5)中令u=0便得线性定常系统齐次状态方程x、=