数列通项公式及其求和公式.docVIP

一、数列通项公式的求法 （1）已知数列的前项和,求通项； （2）数学归纳法：先猜后证; （3）叠加法(迭加法)：； 叠乘法(迭乘法)：. 【叠加法主要应用于数列满足，其中是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出，从而求出】 （4）构造法(待定系数法):形如、（为常数）的递推数列； 【用构造法求数列的通项或前项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①型，其中是可以和数列，用累加法求通项公式，即 类型1： 思路（叠加法），依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，即 例题1：已知，，求 解：∵ ∴，依次类推有： ∴将各式叠加并整理得， 类型2： 思路（转化法），递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型一进行求解了. 例题： 已知，，求 解：∵ ∴，则， ∵令，则，依此类推有、、…、 ∴各式叠加得，即 ∴ ②型，其中是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即 类型3： 思路（叠乘法）：，依次类推有：、、…、， 将各式叠乘并整理得…，即… 例题：已知，，求. 解：∵ ∴，依次类推有：、、…、、 ∵ ∴将各式叠乘并整理得…，即… ③型（其中是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即，设，则.利用②的方法求出进而求出 类型4：（其中是常数） 当时，数列是等差数列；当时，数列是等比数列； 当且时，可以将递推关系转化为,则数列是以为首项，为公比的等比数列. 思路（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即 例题：已知数列满足且，求数列的通项公式 解：设，即 ∵ ∴数列是以为首项、为公比的等比数列 ∴，即 ④型,其中是常数且，,设，则即化为③. 类型5： 思路（构造法）：，设，则，从而解得 那么是以为首项，为公比的等比数列 例题：已知，，求。 解：∵设，则，解得， 是以为首项，为公比的等比数列，即 ⑤型，其中是常数且，可以采用等式两边取倒数. 类型6： 思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以进行求解了. 例题：已知，，求 解：∵对递推式左右两边取倒数得即， ∴令则.设，即 数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即， 类型7： 思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即.当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论. 例题：已知， （），求 解：∵当时，递推式对应的特征方程为即，解得、 数列是以为首项的等比数列 ∵设，由得则， ，即，从而， 二、数列求和的几种常见方法 数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨. 1、公式求和法 通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前个正整数和的计算公式等直接求和.运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算.特别地，注意数列是等比数列时需要讨论和的情况. ⑴等差数列求和公式： ⑵等比数列求和公式： 另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前项和公式.正整数和公式有：；； 例1、已知数列的前项和为，且若,求数列的前项和 分析：根据数列的项和前项和的关系入手求出再根据（)求出数列的通项公式后，确定数列的特点，根据公式解决. 解：∵当时，当时，适合上式 ，，即 ∴数列是首项为4、公比为2的等比数列. ∴； 【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题. 变式训练1： 已知，求的前项和. 变式训练2： 设,求的最大值. 2、倒序相加法 如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前项和公式的推导，用的就是