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5.1化归方法的基本思想与原则 例3、求证：n个正方形（n为大于1的任意自然数）经过有限次剪开，一定能够拼成一个大正方形。 证明：先考虑n=2的情形，如图。取正方形ABCD和EFGH，其边长分别为a、b。 在ABCD上分别取P、Q、R、S，使AP、BQ、CR、DS的长均为 因而BP、CQ、DR、AS的长均为 如前图，易证PR⊥QS，并沿PR、QS把ABCD 剪成相等的四块，然后按左图的拼法拼成正方形。 可见，当n=2时，结论成立。 假设当n=k时，结论成立。当n=k+1时，可先将其中k个作 有限次剪开，把它们拼成一个大正方形，然后把这个大正方形 与余下的一个正方形按前段的剪拼法拼成一个更大的正方形， 它就是由k+1个正方形经过有限次剪拼成的正方形，可见n=k+1时， 结论也成立。故知，命题成立。 ，其中p＞0，椭圆E的中心为，焦点在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为 又从已知条件可得椭圆E的方程为 （2） 因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p的取值范围。将（2）代入（1）得 （3） 此时，求p的取值范围，又转化为求（3）有两个不等的正根的充分条件即解不等式组 在p＞0的条件下，得0＜p＜13。 在数学竞赛中，常出现这样一类问题，它们可以化归为染色问题，因为解答这样一类 问题不要求具备许多专门知识，但却可以考核参赛者的智力水平、思考能力及分析能力。 例9、证明：在任何六个人中，总有三个人互相认识，或者互相不认识。 这一问题可表述为下面染色问题： 问题一：空间六个点，任三点不共线，任四点不共面，两两连线用红、蓝两色去染这些线段（一条线段只染一色），求证：无论如何染色，恒存在同色的三角形。 证明：如图，考虑由一点A引出的五条线段，由抽屉原则可 得，至少有三条线段同色。 不妨设 同红色，再考虑 三边的颜色。 若有一边为红色（设为为红色三角形，若 为蓝色三角形。命题成立。 证：构造如下n+1个正数 它们的算术平均数为 几何平均数为 故由均值不等式得 即证。13、平面上任意给定七条直线，已知其中任何两条直线都不平行，求证：一定可以找出两条直线，这两条直线的交角（指不超过90°的那个角）小于26°。 分析：由于直线的任意性，不宜直接证明结论，可以先缩小一点范围。易知满足条件的七条直线有一个特殊情形，就是七条直线共点。 设七条直线 相交于点A，这七条直线在点A处依次相交成14个以A为顶点的角（如后图所示）。如图，此时一个周角被分成了14个角。由于 从而这14个角中至少有一个角不超过即小于26°，故命题在特殊图形是成立，在此基础上考虑一般情形。 设为平面上的任意七条直线，它们其中任何两条直线都不平行，在平面上任取一点A，过点A作七条直线，使∥显然，直线 中的任两条直线和的交角等于直线 中相应的两条直线和的交角，根据前面特殊情形的证明，命题得证。 例14、有一四面体，其中三条棱互相垂直，六条棱的和为定值s，求此四面体的最大体积。 分析：我们可先考虑平面上的一个类比问题： 问题一：有一个三角形，其中两边互相垂直，三边之和为定值s，求此三角形的最大面积。 不妨设两直角边为a、b，三角形面积为S，则有 于是问题一就转化为问题二：设a＞0，b＞0，在约束条件下，求的最大值。 在约束条件中消去参数b，可得 这时，S可表为a的函数这里s为常数，为求S的最大值，可将化为关于a的二次方程，用判别式求得S的取值范围。也可以用均值不等式来S的最大值。即因为 所以，即当a=b时，三角形取得最大面积 下面再来考虑原问题，即问题三：如右图，四面体O-ABC，三条棱OA、OB、OC互相垂直，而所有六条棱之和为s，求此四面体的最大体积。 不妨设OA、OB、OC的长顺次为a、b、c，四面体的体积为V，则有 利用平面问题解决的方法，可以推出如下不等式：于是， 所以， 至此，解答仍不完善，因为空间的情况和平面的情况还有一些差别，满足条件的四面体还有如下图形，须与前述的四面体的最大体积进行比较。 5.3一般化与特殊化方法 例10、若平面上有997个点，如果每两点连一条线段，且中点涂成红色，证明：平面上至少有1991个红点，你能找到一个正好是1991个红点的特例吗？ 解：在