线性代数 教学配套课件 侯亚君 第5章相似矩阵与二次型 5.7正定矩阵.pdfVIP

5.7 正定二次型 5.7 正定二次型 二次型的标准形显然不是唯一 只是标准形 的， 中所含项数是确定的（即是二次型的秩）. 不仅如 此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的 个数是不变的（从而负系数的个数也不 也就 变）， 是有以下定理. 首页 上页 下页 返回 结束 定理 5.11 设有二次型f = xTAx ，它的秩为r ， 有两个可逆变换 x = Cy 及 x = Pz 使 f k y 2 k y 2 k y 2 (k 0 ), 1 1 2 2 r r i 及 f z 2  z 2  z 2 ( 0 ), 1 1 2 2 r r i 则k , k ,…, k 中正数的个数与 , ,, 中正数 1 2 r 1 2 r 的个数相等． 这个定理称为惯性定理. 首页 上页 下页 返回 结束 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的 正惯性指 负系数的个数称为负惯性指数. 数， 科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为 n或负惯性指数为n的n元二次 我们有下述定义. 型， T 定义 5.11 设有二次型f (x)= x A 如果对 x ， 任何x ≠0 , 都有f (x) 0 （显然f (0)= 则称 0 ）， f 为正定二次 并称对称阵A是正定 如果对任 型， 的； 何x ≠0 ，都有f (x) 则称f 为负定二次型，并称 0 ， 对称阵A是负定的. 首页 上页 下页 返回 结束 例如 f (x , x , x ) x 2 x 2 x 2 是正定二次型， 1 2 3 1 2 3 而 2 2 2 2 2 g (x , x , x ) x x x ，h(x , x , x ) x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 不是正定的. g (0 , 0 ,1) 10, h(0 , 0 ,1) 0. 事实上， 下面给出正定二次型的判别条件： 定理 5