高一年级函数复习.docVIP

第一章 函数 一、内容提要 1、函数 （1）定义：设有两个变量x与y。当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。 （2）定义中两要素：定义域与对应法则。 定义域：自变量x的取值范围。 对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。 （3）注意两点： ①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。 ②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。 2、反函数 （1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。 （2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。 3隐函数 定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。 4、函数的简单性质 有界性，奇偶性，单调性与周期性。 5、复合函数 （1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=(x)，而且当x在某一区间I取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[(x)]。 （2）几个注意的问题： ①复合函数可以简单地理解为函数的函数。有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。 ②要使复合函数y=f[(x)]有意义，必须满足函数u=(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。 6、基本初等函数与初等函数 （1）基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 （2）初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。 二、典型例题 1、函数定义域 例1 求函数y=的定义域 解 要使函数表达式有意义，x要满足： 即 所以函数的定义域为[-1，0) (0，1]. 例2 求函数的定义域. 解 要使函数表达式有意义，x要满足： 即 所以函数的定义域为（1，2）（2，4]. 例3 求函数f(x)=的定义域. 解 函数f(x)的定义域是[0，2]. 例4 设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+a)的定义域. 解 f(x)的定义域为[0，1] 0 由0 得 所以函数f(x+a)的定义域为[-a，1-a] . 小　结 所谓的函数的定义域就是自变量x的允许取值范围，因此 （1）对于用数学表达式表示的函数，其定义域就是使表达式有意义的x的取值范围，因此要注意某些运算对函数的限制。一些常见的限制有： ①在分式中的分母不能为零； ②在根式中负数不能开偶次方根； ③在对数中，真数要大于零； ④在反三角函数中，要符合反三角函数的定义域。 （2）对于已知f(x)的定义域，要求y=f[(x)]的定义域，只要将f(x)中的x的变化范围当成(x)的变化范围，再从中解出x的变化范围，这个x的变化范围就是函数 f[(x)]的定义域。例如，函数f(x)的定义域为[1，2]，则可得f(ax)（a0）的定义域为。 （3）对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。 （4）如果函数的表达式由若干项组成，它的定义域是各项定义域的公共部分。 2、函数值与函数记号 例1 若f(x)=x3+1，求f(x2)，[f(x)]2，f(0)及f(a+1). 解 f(x2)=(x2)3+1=x6+1. [f(x)]2=(x3+1)2=x6+2x3+1 f(0)=03+1=1， f(a+1)=(a+1)3+1. 例2 设f(x+1)=x2+4x-3，求f(x)，. 解 令x+1=t，解得x=t-1，代入原式得 f(t)=(t-1)2+4(t-1)-3=t2+2t-6 . 故 f(x)=x2+2x-6 . = 例3 设f(x)= ，求（1）f(x-1)；（2）f(x)-1；（3）； （4）f []. 解 （1）f(x-1)= （2）f(x)-1= （3）= （4）f []=f 例4 设f(x)= 求f(-2)，f，f(1.5) . 解 f(-2)= f= f(1.5)=2 小　结 （1）已知函数f(x)的表达式，要求某一点x0的函数值f(x0)或求函数f[(x)]的表达式，只要将f (x)表达式中的字母x换成x0或(x)，再进行计算整