应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第4章 4.1.pptVIP

若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 3. 若 * 主讲教师： 第 4 章 中值定理与导数应用 中值定理 洛必达法则 函数单调性和凹凸性 函数的极值与最值 函数图形描绘 1 2 罗尔定理 拉格朗日中值定理 定理 4.1 满足下列条件: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 设函数 证 下面证明 由于 是最大值,所以对 ,恒有 由 的存在及极限的保号性可知， 因此 不妨设 即 使 如果连续光滑曲线 的两个端点 和 等高，则在 上必有一点 ，曲线在 点的切线平行于 轴。（如图） 罗尔定理的几何意义 已知函数 在区间 罗尔定理的条件，求定理结论中的 令 ，解得 ,取 即可。 满足 验证罗尔定理对函数 在区间 上的正确性． 是初等函数 且在 上有定义， 例4.1 解 例4.2 解 由初等函数连续性可知 在 上连续，又 在 内存在，且 所以 在 上满足罗尔定理条件， 得　　 取 则 ，显然 罗尔定理条件的 存在。 令 ，说明满足 不求函数 的导数， 说明 有几个实根。 因为 又 故 在 上均满足罗尔定理条件， 因而至少存在 , 且在 可导 使得 即 至少有4个实根。 又因为 为4次多项式，至多有4个实根， 所以 恰有4个实根。 例4.3 解 设 有 个实根 ，问： ① 有几个实根？ ② 有几个实根？ ③ 有几个实根？ （1）求证方程 恰有三个实根． （2）证明:若 ，则方程 有惟一实根。 满足下列条件: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 使得 在( a , b ) 内至少存在一点 设函数 为找到拉格朗日定理的证明方法，我们不妨先观察该定理的几何意义。 定理 4.2 连接曲线 ( )的两个端点 和 ，则弦AB的斜率等于 把拉格朗日定理的结论 改写为 此式表明，在开区间 内至少有一点 ，使得 在点 处的切线与弦AB平行， 如图4.2所示。 而弦AB方程为 比较罗尔定理和拉格朗日定理的条件，区别在于 是否等于 ，如果能消除这个差别就可以借助 和弦AB在 区间的两个端点处的高度相等， 罗尔定理证明拉格朗日定理了.注意到 我们构造辅助函数 则有 ，而且 在 上满足罗尔定理 条件。 分析 构造辅助函数 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 则 在 上连续，在 上可导，且 由罗尔定理： ，使 ，即 所以 ，证毕。 证 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 1）从几何意义上看，构造辅助函数 是使得 有水平切线； 被称为拉格朗日公式，式中 可写成 于是公式可写为等价形式 的目的 2） 【注】 3）拉格朗日定理被称为微分中值定理，该定理应用广泛，在微分学中占有重要地位，它的重要性就在于它把导数与函数值的差用等号连接，为用导数研究函数问题提供了一个等量关系。 4）在拉格朗日定理中，若 ，结论相应地变成 定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日定理的 ，这正是罗尔定理的结论，可见拉格朗日中值 特殊情形。 已知 在 上满足拉格朗日中值定理条件， 则定理结论中的 = 。 因为 ，令 解得 取 即为所求。 例4.4 解 如果函数 在区间 内任意一点的导数 都等于0，则函数 在 内是一个常数。 推论4.1 使得 又 ，则 ，所以 在区间 推论4.1常被应用于证明恒等式. ，因为 在 内可导,所以 在 上连续,在 证 上可导，由拉格朗日中值定理： 【注】 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 欲证 时 只需证在 I 上 例4.5 证 证明 【经验】 【自证】 ① 证明对 ，有 ② 证明对 ，有 如果函数 与 在区间 内每一点的导数 与 都相等，则这两个函数在区间 相差一个常数。 ， ， 由推论4.1可知 该结论常用来证明两个函数相等。 内至多 因为 推论4.2 证 【注】 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 *