典例剖析(第一课时)（向量的加法与减法）.docVIP

［例1］如图5—3,已知向量a、b、c,求作a+b+c. 选题意图:本题主要训练利用三角形法则求作向量的和. 解析:如图5—4,在平面内任取一点D,作=a, =b, =c，作、 则=a+b, =(a+b)+c=a+b+c ∴向量即为所作向量. 说明:三角形法则是求作向量和的常用方法,并且可把这个法则推广到多边形即 . ［例2］已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且=、=, 求证:四边形ABCD是平行四边形. 选题意图:本题主要考查向量的加法运算及利用向量证明几何问题的方法. 证明:如图5—5, =+,=+, 又∵=,= ∴= ∴AB∥DC且AB=DC ∴四边形ABCD为平行四边形. 说明:本题实际上就是证明了“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一结论.证明了两向量的相等，既能说明线段的长度之间的关系，又能说明线段的位置关系（平行）. ［例3］证明：对于任意给定的向量a、b都有： |a+b|≤|a|+|b| 选题意图:通过本题的证明，熟悉两向量的和的模与模的和的大小关系.同时也考查了分类讨论及数形结合的思想方法. 证明:(1)若a、b中有一个为0,则结论显然成立. (2)若a、b都不为0,作 =a, =b,则=a+b ①若a、b不共线时(如图5—6中①),由三角形一边小于其他两边之和, 可得 ||＜||+|| 即|a+b|＜|a|+|b| ②当a、b共线时(如图5—6中②) 若a、b同向,则||=||+||,即 |a+b|=|a|+|b| 若a、b反向,则||＜||+|| 即|a|+|b|＜|a|+|b| 综上所述,对于任意向量a、b都有|a+b|≤|a|+|b| 说明:本题解题的突破口是向量加法的几何意义和平几知识“三角形两边之和大于第三边”，这也是本题中不等式的几何意义，它被称为三角不等式,在后继学习中有着重要的作用. 图5—3 图5—3 图5—5 图5—6