典例剖析(平面向量习题课一)（线段的定比分点）.docVIP

［例1］如图5—13，P、Q是△ABC的边BC上两点，且 BP=QC， 求证：+=+ 选题意图：本题主要考查向量加减法的几何意义及其灵活应 用. 证明：∵=+,=+ ∴+=+++=+++ 因为和大小相等，方向相反，所以+=0,故 +=+. 说明：通过观察得出与是互为相反向量是解决问题的关键.本题从图形的特点出 发可知解答不惟一.如可利用+=0,将转化为+,将转化为+，再求和化简.  ［例2］已知向量e1、e2不共线， (1)若=e1－e2，=2e1－８e2，=3e1＋３e2，求证：A、B、D三点共线. (2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值. 选题意图：本题主要考查向量共线的充要条件及其应用. 解：(1) =+=2e1-8e2+3(e1+e2) ＝５e1-5e2＝５ ∴与共线 又直线BD与AB有公共点B ∴A、B、D三点共线 (2)∵λe1-e2与e1-λe2共线 ∴存在实数k，使λe1－e2＝ｋ（e1－λe2） 化简得（λ－ｋ）e1+(kλ－１)e2＝0 ∵e1、e2不共线 ∴由平面向量的基本定理可知：λ－ｋ＝０且ｋλ－１＝０ 解得λ＝±１，故λ＝±１． 说明：(1)是应用向量共线充要条件解决的常见问题，类似地还可以计算与相比较.(2)中确定待定系数的方法是今后常用的解题技巧，应引起足够重视. ［例3］已知向量a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2),x、y为何值时， (1)a=b (2)a∥b 选题意图：本题主要考查向量相等和向量共线的坐标表示. 解：(1)根据向量的相等得： 解得： (2)根据向量共线的条件得： -2(2x-y+1)-2(x+y-2)=0 化简得：3x-1=0 ∴ 说明：向量相等和向量共线都有它们的几何特征和代数特征.从几何上看，相等向量方向相同、长度相等，共线向量方向相同或相反；对于用坐标表示的向量来说，相等向量的坐标相等，共线向量中一个向量的坐标是另一个向量坐标的λ倍(λ∈Ｒ).  ［例4］设平面上有点P和△ABC，已知++=,试确定点P的位置. 选题意图：本题主要考查向量的加减法以及分比的概念，培养学生的综合解题能力. 解：∵=- ∴由题意得：++=- 即=-2 ∴= 即 ∴点P在线段AC上，且将线段AC分成ＡＰ∶ＰＣ＝１∶２． 说明：本题解题的关键是把表示成两向量与的差.另外由等式＝λ中λ的值可判断点P与线段AB的关系.