典例剖析(两个平面垂直的判定和性质习题课)（两个平面垂直的判定和性质）.docVIP

［例1］已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA⊥AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E—BD—C的大小. 选题意图：考查二面角的求法. E—BD—C的平面角 设SA＝ａ，则SB＝BC＝ ∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC ∴BC⊥SB ∴SC＝2 ａ，∠SCD＝30° ∴∠EDC＝60° 即二面角E—BD—C的大小是60° 说明：解法中先证明了二面角的棱BD垂直于平面SAC，从而得出了二面角的平面角为∠EDC，故求二面角的大小转化成了求∠EDC的大小. ［例2］如图9—116，平面α∩平面β=a，α⊥平面γ，β⊥平面γ,α和β同时平行于直线b，求证(1)a⊥γ,(2)b⊥γ. 选题意图：考查线面、面面的平行与垂直的判定和性质. 证明：(1)设α∩γ=m，β∩γ=n，在γ内任取一点A，过A作c⊥m，作d⊥n，∵α⊥γ，∴c⊥α，又aα，∴a⊥c.同理a⊥d，∴a⊥γ. (2)在a上任取一点B，过b和B作平面交α于过B的直线a′,交β于过B的直线a″，∵b∥α,∴a′∥b,同理b∥a″，∵ａ′和a″同时过B且平行于b，∴a′和a″重合于直线a,由a⊥γ,可得b⊥γ. ［例3］如图9—117，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，K为线段SC上的一点，(K不是端点)BK⊥SC于K，求证平面SBC与平面SDC不垂直. 证明：假设平面SBC⊥平面SDC，∵BK⊥SC， ∴BK⊥平面SDC， ∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，∵AB∥CD， ∴BK⊥AB，∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∵AB⊥平面SBC，SB平面SBC， ∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾. ∴平面SBC与平面SDC不垂直. ［例4］如图9—118，ABCD是正方形，E、F分别是AD、BC边上的点，EF∥AB，EF交AC于点O，以EF为棱把它折成直二面角A—EF—D后，求证：不论EF怎样移动，∠AOC是定值. 证明：设AB＝ａ，CF＝DＥ＝ｘ，则FO＝ｘ， AE＝EO＝ａ－ｘ，在Rt△AEO中，AO2＝AE2＋EO2＝2（ａ－ｘ）2，同理OC2＝2ｘ2，在△CFA中，CF⊥EF，又二面角A—EF—D为直二面角， ∴CF⊥平面ABEF，∠CFA＝90°，AF2＝AB2＋BF2＝ａ2＋（ａ－ｘ）2， ∴AC2＝AF2＋CF2＝ａ2＋（ａ－ｘ）2＋ｘ2， , ∴∠AOC＝120°是定值. 图9—116 图9—117 图9—118 图9—119