构造函数模型证明不等式（不等式的证明A）.docVIP

构造函数模型证明不等式 安徽省和县第二中学 何宗祥 有些不等式的证明，如果采用常规方法，往往不易下手或比较冗繁，但若从函数思想考虑，按照函数的某些性质适当构造函数模型，问题可能容易解决. 利用单调性构造函数模型证不等式 构造一个函数，使原不等式（或经等价变形后）的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值，就可以利用函数的单调性证明不等式. 例1 已知x＞0,求证： 证明：设 又 当时，这是一个关于u的减函数，故当，即 例2 已知a、b、m∈R+,并且a＜b，求证（高中《代数》下册P12例7） 证明：考虑函数 所以 取 利用奇偶性构造函数模型证不等式 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，由于奇（偶）函数定义域的对称性，故若知道函数在某一区间上的情形，便可知道它在这个区间的对称区间上的情形，这为构造一个函数，运用转化法证明不等式提供了方便和可能. 例3 求证 证明：考虑函数 ∴ 故当 说明：不等式两边均含有变量x，可考虑“差比较法”.又由于，需对分别判别，故首先考察函数f(x)的奇偶性. 利用最值性构造函数模型证不等式 对于两个函数 例4 已知为实数，试证 证明：考虑函数 则 根据二次函数 时，具有最小值，且 构造二次函数模型证不等式 二次函数、一元二次方程、二元二次不等式联系极为密切.对于某些条件二次不等式的证明，可以考虑构造相应的二次函数模型，然后利用一元二次方程的根的判别式来转化原问题，从而使原不等式得以证明. 例5 已知 证明：考虑函数 又x2的系数大于零， 的值恒大于或等于零. 例6 已知ai、bi（i=1,2,3）都是实数，求证： 证明：若均为零，则不等式显然成立. 若中至少有一个不为零，考虑函数 而 又二次项系数 ∴ 这就是著名的柯西不等式当n=3时的情形.