典例剖析(第一课时)（直线和平面垂直的判定和性质）.docVIP

［例1］如图9—59，设ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD. 选题意图：考查直线与平面垂直的判定定理的应用和定义逆命题的应用(让学生知道定义的逆命题是真命题且为一性质定理). 证明：设BD的中点为K，连结AK、CK， ∵AB＝AD，K为BD中点 ∴AK⊥BD 同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K ∴BD⊥平面AKC ∴BD垂直于平面AKC内的所有直线 ∴BD⊥AC ［例2］如图9—60，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 已知：直线ａ∥直线ｂ，ａ⊥平面α. 求证：ｂ⊥α. 选题意图：可作为判定直线与平面垂直的判定定理用. 证明：设直线ｇ是平面α内任一直线 ∵ａ⊥α ∴ａ⊥ｇ 又∵ａ∥ｂ ∴ｂ⊥ｇ 由直线和平面垂直的定义知ｂ⊥α. ［例3］如图9—61，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，求证：OO1⊥平面AC. 选题意图：直线与平面垂直的判定定理的应用. 证法一：连结O1A和O1C，在正方体ABCD—A1B1C1D1中. ∵AA1⊥A1B1，AA1⊥A1D1，且A1B1∩A1D1＝A1. ∴A1A⊥平面A1C1 ∵A1C1平面A1C1 ∴A1A⊥A1C1，同理CC1⊥A1C1 ∵A1O1＝O1C1，AA1＝CC1 ∴△AA1O1≌△CC1O1，O1A＝O1C ∵O为AC中点 ∴O1O⊥BD，又AC∩BD＝O ∴OO1⊥平面AC 证法二：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体 ∴AA1⊥AB，AA1⊥AD ∵AB∩AD＝A ∴AA1⊥平面AC ∵AA1∥=BB1，BB1∥=CC1 ∴AA1∥=CC1，四边形AA1C1C为平行四边形 ∵O、O1分别为AC，A1C1的中点 ∴OO1∥AA1，OO1⊥平面AC. 图9—59 图9—60 图9—61