（圆的方程）例题（三）.docVIP

［例1］求下列条件所决定的圆的方程 (1)已知圆过两点A(3，1)、B(-1，3)，且它的圆心在直线3x-y-2=0上； (2)经过三点A(1，-1)、B(1，4)、C(4，-2). 选题意图：考查待定系数法求圆的方程. 解：(1)设所求圆的圆心为C(a,b)， ∵｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜＝ｒ，点C在直线3x-y-2=0上， ∴ ∴所求圆的方程是(x-2)２+(y-4)２=10. (2)设圆的方程为x２+y２+Dx+Ey+F=0,将A、B、C三点坐标代入，整理得 ∴所求圆的方程为x２+y２-7x-3y+2=0. 说明：两题中求圆的方程选用了不同形式.如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系常选用一般方程. ［例2］已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(a,0)(a≠0)距离的比为k(k≠1)的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状. 选题意图：考查圆的另一种叙述形式. 解：设M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是M属于集合P＝｛Ｍ｜｝.由两 点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为，两边平方得 ,化简得  ∵0＜k＜1或k＞1，∴k２-1≠0, ∴ ∴所求曲线的方程是，曲线是一个圆. 说明：此例说明了k≠1时，曲线是一个圆，它比课本例5更有一般性.当k=1，显然曲线是线段OA的垂直平分线. ［例3］⊙A的方程为，⊙B的方程为ｘ２＋ｙ２＋２ｘ＋２ｙ－２＝０，判断⊙Ａ和⊙Ｂ是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由. 选题意图：考查两圆的位置关系及两圆相交时，过两交点的直线的求法. 解：⊙Ａ的方程可写为 ⊙Ｂ的方程可写为 ∴两圆心之间的距离满足. 即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差. ∴两圆相交 ⊙Ａ的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得－４ｘ－４ｙ－５＝０ 即4x+4y+5=0为过两圆交点的直线的方程. 说明：判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d与两圆半径的和及差的绝对值比较大小.即当｜Ｒ－ｒ｜＜ｄ＜Ｒ＋ｒ时，两圆相交.