（圆的方程）数形结合求最值.docVIP

数形结合求最值（专题辅导） □ 山东高唐职业中专 韩玉东 王桂英 在一定条件下，求某些式子的最值问题，可利用数形结合的方法，转化为求斜率、截距、距离等问题，从而得到解决. 一、转化为直线的斜率与截距 例1 若实数x、y满足x2+y2－6x－4y+12=0，求的最大值及最小值. 分析 点（x,y）满足圆的方程，而正是圆上的点与原点连线的斜率.如果把（x,y）视为动点，则的最大值和最小值正是由原点向圆所引的两条切线的斜率. 解 由已知得（x－3）2+(y－2)2=1，圆心（3，2），半径为1 设y=kx,即kx－y=0 由直线与圆相切，得，解得 的最大值为，最小值为. 例2 已知实数x,y满足x2+y2=3(y≥0)，试求m=及b=2x+y的取值范围. 解 m可看作半圆x2+y2=3(y≥0)上的点与定点A（－3，－1）连线的斜率，b可以看作过半圆x2+y2=3(y≥0) 上的点P且斜率为－2的直线在y轴上的截距. 由图得≤m≤, ≤≤ 二、转化为距离 例3 已知x,y满足x2+y2+4x－2y－4=0，求x2+y2的最大值. 分析 由于x2+y2=()2，而可以看作圆x2+y2+4x－2y－4=0上的点（x,y）到原点距离. 由平面几何知识知，连结原点及圆心并延长与圆的交点到原点距离最大，易求得x2+y2的最大值为14+6. 解 （略） 例4 已知3x－4y+4=0，求的最小值. 分析 此题可以看作在直线3x－4y+4=0上求一点（x,y），使它使（－3，5）和（2，15）的距离的和最小. 解 由于A（－3，5）和B（2，15）在直线3x－4y+4=0的同侧，利用对称性可以求得A（－3，5）关于3x－4y+4=0的对称点A′（3，－3），则|A′B|= 即为的最小值. 以下几题可以留给同学们作为练习 1．直线l经过点P（2，2）且与曲线y=(0≤x≤2)有两个交点，求直线l斜率的范围. 2．已知两圆x2+y2=4,x2+(y－8)2=4，若直线y=在两圆之间通过，求实数b的范围. 3．求函数y=的最小值. —2—