（圆的方程）例题（一）.docVIP

例1 求圆心在直线5x－3y=8上，又与两坐标轴相切的圆的方程. 解：设圆方程为(x－a)2+(y－b)2=r2 由已知：a2=b2=r2,5a－3b=8 ∴ ∴b=4或b=－1. 从而a=4或a=1 故r2=16或r2=1 ∴(x－4)2+(y－4)2=16或(x－1)2+(y+1)2=1 例2 如果实数x,y满足x2+y2－4x+1=0 （1）求的最大值； （2）求y－x的最小值. 解：（1）设=k，而x2+y2－4x+1=0即(x－2)2+y2=3 即圆上求一点P，使其与O点连线的斜率最大. 由已知：CP=，OC=2，k= 即的最大值为. （2）设y－x=b,则y=x+b,要使b最小.则此直线与已知圆相切于第四象限， 此时C到直线距离， 所以y－x的最小值为. 例3 已知定点A（3，0），B是圆x2+y2=1上的动点，∠AOB的平分线交AB于点M，求M点的轨迹. 分析：此题利用三角形内角平分线的比例性质，将动点坐标转化到已知圆心，达到求解轨迹方程的目的. 解：设点M（x,y），B（x0,y0） 因为OM是∠AOB的平分线，所以.由定比分点公式得 解得 ∵ ∴ 即为所求轨迹方程，它表示以为圆心，为半径的圆. 例4 过圆：x2+y2=r2外一点P（x0,y0）引此圆的两条切线，切点为A、B，则直线AB的方程为_________. 分析：此题注意与所学过圆上一点的切线的联系，体现由不熟悉向熟悉的转化，并注意直线方程形的特点. 解：设A（x1,y1），B（x2,y2）则过点A的圆的切线为x1x+y1y=r2 过点B的圆的切线为x2x+y2y=r2 又点P（x0,y0）是两切线的交点，所以： x0x1+y0y1=r2，说明点A（x1,y1）在直线x0x+y0y=r2上 x0x2+y0y2=r2，说明点B（x2,y2）在直线x0x+y0y=r2上 所以直线AB方程为：x0x+y0y=r2 例5 在圆 （θ为参数）上求一点P，使点P到直线y=x－6距离最小. 分析：要求学生解题方法的灵活性. 解法一（点到直线距离公式）. 设d为点P到直线y=x－6的距离，则 当即时，d最小=. ∴ ∴所求点为P（）. 解法二（几何法）： 由点O作OQ⊥l,交圆于点P，因为点到直线距离最短，所以点P即为所求. 如图△AOB是等腰直角三角形， △OQB也是等腰直角三角形， 所以|OQ|= ∠QOB=45°，将代入圆参数方程可得 ,即P（）. —1—