（椭圆及其标准方程）椭圆及其标准方程的进一步学习.docVIP

对椭圆及其标准方程熟练掌握的基础上，我们要不断深入学习，要灵活地将椭圆的定义及其标准方程应用于其他与椭圆有关的问题中，这就要求我们在教学中必须注意对学生拓展思维能力的培养. 下面，试举几例说明： ［例1］过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、 B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是多少？ 解：根据题意画出图形 ∵|AF1|+|AF2|=2 |BF1|+|BF2|=2 ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4 ［例2］如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长为多少？ 解：根据题意画出图形，其中F2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得： |MF2|+|MF1|=2×5=10 又|MF1|=2，∴|MF2|=8 ∵ON是△MF1F2的中位线 ∴|ON|=4 评述：对于例1可以通过分别求出A、B两点的坐标从而求出△ABF2的周长.对于例2可以通过求M点坐标，再求N点坐标，从而求ON的长度.但通过利用定义求出结果的这种方法可以使我们去繁就简，其巧妙之处大家也深有感触.可见寻求简捷的解法应成为我们不断探索的动力. ［例3］已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点. （1）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积. (2)求|PF1|·|PF2|的最大值. 分析：（1）如果设P（x,y），由P点在已知椭圆上且∠F1PF2=,利用这两个条件，列出关于x,y的两个方程，解出x,y，再求△F1PF2的面积，这种思路虽简单清晰，但运算量大，过程繁琐，须另寻捷径，不妨利用椭圆定义去求，如果考虑到∠F1PF2=，和三角形面积公式S=absinC,只要求得|PF1|·|PF2|问题就可以解决了. (2)继续利用椭圆定义及均值不等式定理即可求出|PF1|·|PF2|的最大值. 解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆定义，有m+n=20，在△F1PF2中，由余弦定理可得： m2+n2-2mncos=122 ∴m2+n2-mn=144 ∴(m+n)2-3mn=144 ∴202-3mn=144 ∴mn= ∴|PF1||PF2|sinF1PF2 ∴ (2)∵a=10,根据椭圆定义有： |PF1|+|PF2|=20 ∴|PF1|+|PF2|≥2 ∴|PF1||PF2|≤( ∴当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立 ∴|PF1|·|PF2|的最大值是100 评述：对解题方法的灵活选择，运用自如，是建立在扎实的基本功和基本技能的基础上形成的一种能力，教学中应引起我们的重视. 二、深入学习“转移法”求点的轨迹 问题一：转移法求轨迹的基本步骤是什么？ 答：（1）设所求轨迹上的动点P（x,y），再设具有某种规律f（x,y）=0上的动点 Q（x′,y′） （2）找出P、Q之间坐标关系式，并表示为 (3)将x′,y′代入f(x,y)=0，即得所求轨迹方程f［φ1(x,y),φ2(x,y)］=0 问题二：什么条件下应用转移法求点的轨迹呢？ 答：当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的时，应用转移法求点的轨迹比较合适. ［例4］在椭圆内，内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，A在椭圆上运动，试求△ABC的重心轨迹. 分析：直接寻找三角形ABC的重心P的轨迹较为困难，而A在椭圆上运动，可将点P转移到A来讨论. 解：设重心P（x,y）及A（x1,y1）则AO是三角形ABC的中线，根据三角形重心公式与定比分点定义，有λ=，则有：x1= y1= ∵A点在椭圆上 ∴ ∴是所求点的轨迹方程，且所求点的轨迹方程是一个中心在原点，焦点在x轴上的椭圆. ［例5］已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程. 解：将椭圆方程变为 ∵a2=25,b2=16 ∴c= ∴焦点F（0，3） 设点P（x,y）、Q(x1,y1) ∴25x12+16y12=400 ① 由P分所成比为2，得 ∴x1=3x,y1=3y-6 代入①式，得 25(3x)2+16(3y-6)2=400 整理，得225x2+144y2-576y+176=0 ［例6］已知圆x2+y2=25,一条平行于x轴的半弦交圆于点P，交y轴于点N、O为圆心，M为圆与x轴的正向的交点，当半弦PN在y轴的右侧平行移动时，求PO与MN的交点Q的轨迹方程. 解：设P（x0,y0）,M(5,0),N(0,y0) ∴OP:y=x MN: 以x0,y0为主字母解得： x0= 代入x02+y02=25中，得