（椭圆及其标准方程）例题（二）.docVIP

［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. 选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查a、b、c关系掌握情况. 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： ∵，2c=6. ∴ ∴ ∴所求椭圆的方程为：. (2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为. ∴ ∴所求椭圆方程为： ［例2］求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2. 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识. 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为： ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1) ∴ 故所求椭圆的标准方程为 （２）∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴ａ＝１０. 又∵P到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c－（－１０）＝２，故c=8. ∴. ∴所求椭圆的标准方程是. 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为a与b的值. (2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近. ［例3］平面内两个定点F1、F2之间的距离为2，一个动点M到这两个定点的距离和为6. 建立适当的坐标系，推导出点M的轨迹方程. 选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法. 解：建立直角坐标系xoy,使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合. 设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2ｃ(ｃ＝1)，M与F1和F2的距离的和等于 常数6，则F1、F2的坐标分别是(-1，0)，(1，0). 椭圆就是集合P=｛M｜MF1｜+｜MF2｜=6｝. ∵ ∴. 将这个方程移项后，两边平方，得 两边再平方，得： 整理得： 两边除以72得：. 说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.