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4 扭 转 4.1扭转的概念和实例 图4.1所示的机器中的传动轴，图4.2所示的方向盘的操纵杆。它们可简化为图4.3所示的计算简图。该类杆件的受力特点是：作用于其上的外力是一对（或多个）转向相反、作用面与杆件横截面平行的外力偶矩，以记之。 杆件变形的特点是：杆的任意两个横截面围绕轴线作相对转动。 本章主要研究圆截面等直杆的纯扭转。对非圆截面杆的扭转，则只作简单介绍。 4.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 4.2.1外力偶矩的计算 　　　　　　　 (4.1) 若功率单位为马力，而1马力,应用与上相同的方法，可得到功率为马力时外力偶矩的计算公式 (4.2) 4.2.2横截面上的内力—扭矩 由平衡方程： 得。通常称该力偶矩为扭矩，以记之。其量纲是[力·长度]，常用单位是牛顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。 扭矩符号规定 下面用例题说明扭矩的计算和扭矩图的绘制。 例题4.1】传动轴如例题4.1a图所示，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输 出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。 解：按公式（4.2）算出作用于各轮上的外力偶矩 从受力情况看出，轴在、、三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。 在段内， 　　　　 在段内，　　　 在段内, 　　　　 所以。 对同一根轴，若把主动轮安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将如例题图所示。这时，轴的最大扭矩是（例题4.1g图）。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显示例题4.1a图所示布局比较合理。 4.3 纯剪切 剪应力互等定理 剪切虎克定理 4.3.1薄壁圆筒扭转时横截面上的应力 以图4.6a所示等厚度薄壁圆筒为例。受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格。由试验可知，扭转变形后（图4.6b），圆筒表面上的方格变成了平行四边形，这表明方在圆筒横截面上只有剪应力而无正应力，在包含半径的纵向截面上也无正应力。由于沿着圆周上的各点的变形情况相同，又由于圆筒壁厚度与直径相比甚小，故可以假定沿着筒壁的厚度剪应力是均匀分布的，沿圆周各点的应力相同。现假想地将圆筒截成两部分，研究其中一部分（图4.6c），由静力学关系得 从而求出 　　　　 (4.3) 4.3.2纯剪切 剪应力互等定理 从薄壁圆筒中取出一单元体，它在三个方向的尺寸分别为、和，见图4.7。 从而求得 　　　　　 （4.4） 上式表明：在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是剪应力互等定理。 4.3.3剪应变 剪切虎克定理 设为薄壁圆筒两端的相对转角，为圆筒的长度，则剪应变为 　　　 (4.5) 根据薄壁圆筒的扭转试验可知，当剪应力不超过材料的 剪切比例极限时，扭转角与所施加的外力偶矩m成正比。而由式（4.3）可知，横截面上的剪应力与成正比；又由式（4.5）可知，剪应变与成正比。所以，以上述的试验可推得这样的结论：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应变与剪应力成正比（图4.8）。这就是材料的剪切虎克定律，即表示为 　　　　　 　　（4.6） 在讨论拉伸和压缩时，曾得到两个弹性常数、；本节讨论中又得到一个弹性常数。对各向同性材料，可以证明三个弹性常数、、之间存在着一定的关系，即 　　　　　　　　　　　　　（4.7） 　　　 4．4圆轴扭转时的应力和强度条件 4．4．1变形几何关系 为了考察变形几何关系，与薄壁圆筒受扭一样，在圆轴表面上等距画上圆周线和纵向线（图4.9a）。在扭转外力偶矩作用下，得到与薄壁圆筒扭转相似的现象。即：各圆周线分别绕轴线旋转了不同的角度，但圆周线的形状、大小和相邻圆周线的间距没有改变；在小变形的情况下，纵向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个同样的微小角度。因此，变形前由纵向线和横向圆周线构成的方格均扭歪成菱形（图4.9b）。 基本假设：圆轴扭转时各横截面仍保持为平面，且形状、大小和相互间的距离均不变，半径仍为直线，横截面在变形时如同刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。此乃扭转变形的平面假设。 由几何关系可得 　　　(4.8) 剪应变沿圆轴半径成线性变化，离轴线越远，剪应变越大。圆轴表面处剪应变最大，并可看出，剪应变发生在与半径垂直的平面内，同一半径上的所有