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* * 初等数论教学设计 唐山师范学院滦州分校 朱国 Email:tsmaths@126.com 最大公约数 公约数；最大公约数； 最大公约数的性质； 最大公约数的求法 公约数；最大公约数； 公约数 最大公约数 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的唯一存在性 定理1 整数 的最大公约数唯一存在。 互质（互素）的概念 定义2 若 则称 互质（互素） 若 中的任意两个都互 质，则称 两两互质 。 定理2 若 是不全为零的整数且有公约数， 则 与 有相同的公约数，且 = 最大公约数的性质 推论 如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公约数。 定理3 如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数，就是第二个数与这个余数的最大公约数。即 　　如果 a=bq+r（r≠0）， 　　那么（a，b）=（b，r）。 证明:(a,b)=(a-b,b) 思考： 求（62，48），（n,n-1), (n,n-2) 最大公约数的性质 定理4 若d0,a0,b0,d|a,d|b,则（a,b）=d的充要条件是存在整数s,t，使得d=as+bt. 推论: (a,b)=1 的充要条件是存在整数s,t，使得as+bt=1. 既约分数（最简分数）： 例1： 已知n为正整数，求证： 是既约分数。 定理5：设q时a,b的任一公约数，d时a,b的一个公约数，则d=(a,b)的充要条件是q|d. 定理6： 设d|a,d|b,则 的充要条件是d=(a,b) 推论 设 定理7 （ac,bc)=c(a,b) 推论： 例2：若(a,b)=1,求（a-b,a+b) 证明：因为(a，b)＝1则存在两个整数s，t，使得????as＋bt＝1∴??asc＋btc＝c∵?a|asc??且a|bc∴?a|(asc＋btc)?即?b|c 定理8： 若a|bc，且(a，b)＝1，则a|c 思考： 证明：若3|n,7|n,则21|n 定理9：若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c 定理10：若(a,b)=1,则(a,bc)=(a,c) 推论1 若 则 *